Transfert d'énergie par couplage inductif

1. Introduction

Le transfert d'énergie par couplage inductif consiste à utiliser l'induction électromagnétique pour transmettre de l'énergie entre un inducteur et un induit. Il se rencontre dans :

les transformateurs,
le chauffage par induction, où l'inducteur est une bobine et l'induit la pièce métallique à chauffer,
les systèmes de recharge ou d'alimentation sans fil.

Dans sa forme la plus simple, un système de transfert d'énergie par couplage inductif est constitué d'une bobine primaire, alimentée par une source délivrant une tension sinusoïdale, et d'une bobine secondaire qui alimente une charge résistive. On suppose que la distance entre les deux bobines est au moins 100 fois plus petite que la longueur d'onde à la fréquence considérée, ce qui implique que la théorie des régimes quasi stationnaires peut être appliquée et que les pertes par rayonnement sont négligeables. Les pertes d'énergie sont les pertes résistives dans les fils des bobines. Si des pièces en fer doux sont utilisées pour améliorer le couplage inductif entre les deux bobines, il y a aussi des pertes par courant induit dans ces pièces.

Ce document présente une simulation d'un couplage inductif qui vise à répondre à deux questions :

Comment obtenir le maximum de puissance dans la résistance de charge pour une source donnée (limitée en tension et en courant) ?
Comment augmenter le rendement énergétique, défini comme le rapport de la puissance consommée par la charge sur la puissance moyenne délivrée par la source ?

Comme le montre le modèle développé ci-dessous, ces deux questions sont bien distinctes. Il est en effet possible d'augmenter la puissance transmise à la charge tout en augmentant dans les mêmes proportions la puissance dissipée dans les bobines, auquel cas le rendement de change pas. La première question est importante lorsqu'on cherche à rendre le système utilisable pour une certaine puissance à délivrer à la charge et une source donnée. La seconde question est importante pour minimiser les pertes d'énergie dans le transfert (pour des bobines données).

On présente aussi une expérience avec deux bobines emboîtées, réalisée en faible puissance avec un générateur de signaux et qui permet de mesurer le rendement. Une expérience de couplage inductif à forte puissance est présentée dans Transfert d'énergie par couplage inductif : expérience.

2. Modélisation du système

2.a. Bobines idéales

En première approche, les résistances électriques des deux bobines sont négligées. Les seuls éléments du modèle sont les auto-inductances des deux bobines L₁,L₂, l'inductance mutuelle M et la résistance de charge R_c. La bobine primaire est alimentée par une source de tension idéale.

L'inductance mutuelle (que l'on supposera positive) peut s'écrire :

M = k \sqrt{L_{1} L_{2}} (1)

où k est le coeffcicient de couplage entre les deux bobines, compris entre 0 et 1. Ce coefficient décroît très rapidement en fonction de la distance entre les deux bobines (si elles sont coaxiales), approximativement comme l'inverse de la distance au cube.

Figure pleine page

Ce schéma permet de saisir la principale difficulté du couplage inductif : l'impédance vue de la source est principalement inductive, ce qui fait que le déphasage entre le courant et la tension dans le circuit primaire est proche de π/2. En conséquence, la puissance moyenne que la source fournit, qui se transmet à la résistance de charge, ne peut prendre des grandes valeurs que si les amplitudes de la tension et du courant délivrés par la source sont grandes.

Soient $\underset{̲}{I_{1}}$ et $\underset{̲}{I_{2}}$ les amplitudes complexes des intensités des courants dans les deux circuits. En régime sinusoïdal de pulsation ω, on a les équations :

\begin{matrix} E = j L_{1} ω \underset{̲}{I_{1}} + j M ω \underset{̲}{I_{2}} & (2) \\ 0 = (j L_{2} ω + R_{c}) \underset{̲}{I_{2}} + j M ω I_{1} & (3) \end{matrix}

Ces équations conduisent à :

\begin{matrix} \underset{̲}{I_{1}} = \frac{E}{j L_{1} ω + \frac{{(M ω)}^{2}}{j L_{2} ω + R_{c}}} & (4) \\ \underset{̲}{I_{2}} = - \frac{j M ω E}{j L_{1} ω (j L_{2} ω + R_{c}) + {(M ω)}^{2}} & (5) \end{matrix}

La puissance moyenne transmise à la résistance de charge est :

P_{2} = \frac{1}{2} R_{c} \underset{̲}{I_{2}} {\underset{̲}{I_{2}}}^{*} = \frac{1}{2} \frac{R_{c} {(M ω)}^{2}}{{(L_{2} ω)}^{2} + R_{c}^{2}} | \underset{̲}{I_{1}} |^{2} (6)

La puissance fournie par la source est :

P_{1} = \frac{1}{2} R e ((j L_{1} ω \underset{̲}{I_{1}} + j M ω \underset{̲}{I_{2}}) {\underset{̲}{I_{1}}}^{*}) = \frac{1}{2} \frac{R_{c} {(M ω)}^{2}}{{(L_{2} ω)}^{2} + R_{c}^{2}} | \underset{̲}{I_{1}} |^{2} (7)

On a donc P₁=P₂, c'est-à-dire que toute l'énergie fournie par la source est transmise à la résistance de charge, indépendamment du coefficient de couplage entre les deux bobines. Bien entendu, ce résultat n'est valable que dans la mesure où la fréquence est assez basse pour que les pertes par rayonnement soient négligeables.

import numpy as np
from matplotlib.pyplot import *

La fonction suivante calcule des intensités des courants et les puissances pour une fréquence donnée. Toutes les grandeurs seront données par unité de E.

def couplage_ideal(f,L1,L2,k,Rc):
    M = k*np.sqrt(L1*L2)
    w = 2*np.pi*f
    Z2 = 1j*L2*w+Rc
    Z1 = 1j*L1*w
    I1 = 1/(Z1+(M*w)**2/Z2)
    I2 = -1j*M*w*I1/Z2
    P1 = 0.5*np.real(I1)
    P2 = 0.5*Rc*np.absolute(I2)**2
    return I1,I2,P1,P2

La fonction suivante fait les tracés des intensités des courants, des puissances et du rendement :

def trace(f,I1,I2,P1,P2,Plog = True):
    figure(figsize=(16,8))
    subplot(221)
    plot(f,np.absolute(I1),label='I1')
    plot(f,np.absolute(I2),label='I2')
    yscale('log')
    grid()
    legend(loc='upper right')
    ylabel('I/E (A/V)',fontsize=16)
    subplot(223)
    plot(f,np.angle(I1)*180/np.pi,label='I1')
    plot(f,np.angle(I2)*180/np.pi,label='I2')
    grid()
    xlabel('f (Hz)',fontsize=16)
    legend(loc='upper right')
    ylabel(r"$\phi\ (\rm deg)$",fontsize=16)
    subplot(224)
    plot(f,P2/P1)
    grid()
    ylabel('P2/P1',fontsize=16)
    ylim(0,1.1)
    xlabel('f (Hz)',fontsize=16)
    subplot(222)
    plot(f,P1,label='P1')
    plot(f,P2,label='P2')
    if Plog : yscale('log')
    else : ylim(0,max(P1.max(),P2.max())*2)
    grid()
    legend(loc='upper right')
    ylabel(r"$P/E^2\ (\rm W/V^2)$",fontsize=16)

Voici les résultats pour des bobines de 1 mH avec un couplage quasi parfait :

L1 = L2 = 1e-3
k = 0.99
Rc = 10 
f = np.linspace(10,1e3,1000)
I1,I2,P1,P2 = couplage_ideal(f,L1,L2,k,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2,Plog = False)

figA.pdf

La puissance reçue par la charge est identique à ce qu'elle serait si elle était branchée directement sur la source (car le couplage est quasi parfait). On remarque cependant que, à basse fréquence, le courant I₁ nécessaire pour obtenir cette puissance est très grand. Si par exemple E=10 V, la puissance moyenne transmise à la charge est de 5 W mais l'intensité du courant I₁ nécessaire à 100 Hz est de 16 A alors qu'elle vaut seulement 1 A dans la charge. Ce courant très important dans le circuit primaire n'a pas de conséquence énergétique car ce modèle néglige les pertes par effet Joule.

Voyons ce qu'il en est pour un coefficient de couplage 10 fois plus petit :

L1 = L2 = 1e-3
k = 0.1
Rc = 10
f = np.linspace(10,1e3,1000)
I1,I2,P1,P2 = couplage_ideal(f,L1,L2,k,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2,Plog = False)

figB.pdf

La puissance recue par la charge est 100 fois plus faible. Pour obtenir une puissance de 5 W, il faudrait donc une tension 10 fois plus grande, soit E=100 V et le courant dans la bobine primaire serait 10 fois plus intense (soit 160 A à 100 Hz). Pour réduire ce courant, il faut augmenter la fréquence mais pas trop car la puissance transmise diminue avec la fréquence. Voici les valeurs à 1 kHz :

I1,I2,P1,P2 = couplage_ideal(1e3,L1,L2,k,Rc)

print((np.absolute(I1),np.absolute(I2),P1,P2))
--> (0.1596050703706767, 0.008491277743111704, 0.0003605089885533209, 0.000360508988553321)

À cette fréquence, il faut E=118 V pour obtenir une puissance de 5 W. L'intensité du courant dans le circuit primaire est alors de 19 A.

Bien que ce modèle néglige les pertes par effet Joule, il permet de voir les contraintes très fortes qu'un faible coefficient de couplage impose sur les valeurs de tension et de courant que la source doit délivrer, même à une puissance de quelques watts. Rappelons qu'une alimentation de laboratoire ordinaire peut au maximum délivrer une tension de 30 V et un courant de 5 A.

Une bobine de 1 mH est relativement volumineuse (surtout si sa résistance est relativement faible). Voici les résultats pour deux bobines de 0,1 mH :

L1 = L2 = 1e-4
k = 0.1
Rc = 10
f = np.linspace(10,1e3,1000)
I1,I2,P1,P2 = couplage_ideal(f,L1,L2,k,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2,Plog = False)

figC.pdf

Le courant dans la bobine primaire est 10 fois plus intense. Il faudrait donc 190 A dans cette bobine à la fréquence de 1 kHz pour obtenir une puissance de 5 W.

2.b. Prise en compte des résistances des bobines

Une bobine est modélisée par l'association en série d'une auto-inductance et d'une résistance, qui sera supposée indépendante de la fréquence. En réalité l'effet de peau peut faire augmenter la résistance à haute fréquence (de l'ordre de 100 kHz ou plus en fonction du diamètre du fil) et l'effet de proximité peut la faire augmenter à des fréquences beaucoup plus basses (de l'ordre du kHz), surtout lorsque la bobine possède plusieurs couches d'enroulement.

La fonction suivante calcule les valeurs d'auto-inductance et de résistance d'une bobine (sans noyau) dont la longueur, le diamètre, le nombre de couches et le diamètre du fil sont donnés. La résistance est une estimation basse (valable à fréquence nulle) car elle ne tient pas compte de l'effet de peau. Celui-ci augmente la résistance, à une fréquence d'autant plus faible que le fil a un gros diamètre. L'effet de proximité augmente aussi la résistance et il se manifeste à une fréquence d'autant plus faible que la bobine comporte de couches.

def bobine(Nc,longueur,Dmin,dfil):
    # Nc : nombre de couches
    # longueur : longueur de la bobine
    # Dmin : diamètre de la première couche
    # dfil : diamètre du fil
    N = longueur/dfil*Nc
    Dmoy = Dmin + Nc*dfil
    L = 2.2e-6*Dmoy**2*N**2/(Dmoy+2.2*longueur)
    g = 6e7 # conductivité du cuivre
    r = 4*N*Dmoy/(g*dfil**2)
    return L,r

Comme nous allons le voir, le couplage inductif nécessite un coefficient de couplage k pas trop faible. Si les bobines ne sont pas emboîtées, il est donc préférable d'utiliser des bobines dont la longueur est beaucoup plus petite que le diamètre, afin que toutes les spires de l'une soit au plus proche des spires de l'autre. Dans les simulations qui suivent, il importe d'avoir une estimation de la résistance de la bobine pour une valeur de L donnée. Celle-ci dépend bien sûr du diamètre du fil. Nous prendrons comme dimensions de référence de la bobine une longueur de 1 cm et un diamètre de 10 cm. On fera varier le nombre de couches et le diamètre du fil en fonction de la valeur de L souhaitée.

On considère que l'objectif est de transmettre à la charge (de résistance 10 ohms) une puissance moyenne de 5 W, avec une source réalisée par une alimentation de laboratoire de tension maximale 30 V et de courant maximal 5 A, qui peut donc délivrer jusqu'à 150 W en continu.

Voici par exemple une bobine dont l'auto-inductance est d'environ 1 mH, réalisée avec un fil de diamètre 1 mm enroulé en 8 couches de 10 spires :

print(bobine(8,0.01,0.1,1e-3))
--> (0.0012633009230769232, 0.5760000000000001)

Voici le schéma du modèle étudié :

Figure pleine page

Les équations s'écrivent :

\begin{matrix} E = (j L_{1} ω + r_{1}) \underset{̲}{I_{1}} + j M ω \underset{̲}{I_{2}} & (8) \\ 0 = (j L_{2} ω + r_{2} + R_{c}) \underset{̲}{I_{2}} + j M ω I_{1} & (9) \end{matrix}

La fonction suivante fait les calculs :

def couplage(f,L1,L2,k,r1,r2,Rc):
    M = k*np.sqrt(L1*L2)
    w = 2*np.pi*f
    Z2 = 1j*L2*w+r2+Rc
    Z1 = 1j*L1*w+r1
    I1 = 1/(Z1+(M*w)**2/Z2)
    I2 = -1j*M*w*I1/Z2
    P1 = 0.5*np.real(I1)
    P2 = 0.5*Rc*np.absolute(I2)**2
    return I1,I2,P1,P2

Voyons tout d'abord les courbes pour un couplage parfait (k=1). Les bobines ont une auto-inductance de 1 mH et une résistance de 0,5 ohm.

L1 = L2 = 1e-3
r1 = r2 = 0.5
k = 1
Rc = 10
f = np.linspace(10,5000,1000)
I1,I2,P1,P2 = couplage(f,L1,L2,k,r1,r2,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2)

figD.pdf

La prise en compte des résistances des bobines change complètement l'aspect des courbes. Le rendement de la conversion (rapport P₂/P₁) est faible à basse fréquence car l'impédance résistive est prépondérante devant l'impédance inductive ( $r_{1} > L_{1} ω$ ). Même à haute fréquence, le rendement n'est que de $90 %$ alors que le coefficient de couplage est k=1. La baisse du rendement par rapport au cas des bobines idéales est bien sûr une conséquence de leur résistance.

Plaçons-nous à une fréquence où le rendement est proche du maximum, par exemple 5 kHz. Voici les valeurs à cette fréquence :

I1,I2,P1,P2 = couplage(5e3,L1,L2,k,r1,r2,Rc)

print((np.absolute(I1),np.absolute(I2),P1,P2))
--> (0.09584121181114147, 0.0908986018714901, 0.04567480253686324, 0.04131277911095832)

Ces valeurs sont pour E=1 V. Les puissances sont proportionnelles à E², les intensités de courant sont proportionnelles à E. Pour obtenir P₂=5 W, il faut E=11 V. Le courant dans le primaire est alors de 1 A. Ces valeurs sont compatibles avec l'utilisation d'une alimentation de laboratoire.

Voici les résultats pour un coefficient de couplage k=0,1 :

L1 = L2 = 1e-3
r1 = r2 = 0.5
k = 0.1
Rc = 10
f = np.linspace(10,5000,1000)
I1,I2,P1,P2 = couplage(f,L1,L2,k,r1,r2,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2)

figE.pdf

Dans ce cas, le rendement en puissance ne dépasse par $15 %$ . La chute du rendement consécutive à la réduction du couplage est en fait une conséquence de la présence de la résistance r₁ dans le modèle. En effet, la puissance non transmise à la charge est dissipée, principalement dans la bobine primaire puisque le courant est beaucoup plus intense que dans la bobine secondaire.

Voici les valeurs pour une fréquence de 5 kHz :

I1,I2,P1,P2 = couplage(5e3,L1,L2,k,r1,r2,Rc)

print((np.absolute(I1),np.absolute(I2),P1,P2))
--> (0.032114059642958825, 0.0030457911234624603, 0.0003065316354186334, 4.638421783881358e-05)

Pour obtenir une puissance de 5 W dans la résistance de charge, il faut E=330 V et I₁=10,5 A, ce qui est infaisable avec une alimentation de laboratoire. Pour un coefficient de couplage de 0,1 (ou plus faible), on peut donc dire que l'alimentation ne peut pas délivrer à la charge la puissance qu'elle pourrait en principe délivrer.

Lorsque le coefficient de couplage est faible, il faut réduire les résistances des bobines. Si l'on ne change pas la taille des bobines, leur auto-inductance doit aussi diminuer. Voici par exemple, pour une bobine de diamètre 10 cm et de longueur 1 cm, les valeurs pour un fil de 1 mm enroulé en 1 couche :

print(bobine(1,0.01,0.1,1e-3))
--> (1.824569105691057e-05, 0.06733333333333333)

L1 = L2 = 1.8e-5
r1 = r2 = 6.7e-2
k = 0.1
Rc = 10
f = np.linspace(10,100e3,1000)
I1,I2,P1,P2 = couplage(f,L1,L2,k,r1,r2,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2)

figF.pdf

On trace les courbes jusqu'à une fréquence de 100 kHz car il est difficile d'opérer au delà de cette fréquence avec les transistors de puissance MOSFET.

Comme prévu, l'effet des pertes résistives est beaucoup plus faible, ce qui explique que le rendement maximal soit plus grand. On en déduit qu'un bon rendement nécessite des bobines de faible résistance et donc d'auto-inductance relativement faible. Il faut cependant augmenter beaucoup plus la fréquence pour obtenir le rendement maximal. Dans le cas présent, on ne peut pas atteindre le maximum de rendement en raison de la limitation à 100 kHz.

Voici les valeurs pour une fréquence de 100 kHz :

I1,I2,P1,P2 = couplage(100e3,L1,L2,k,r1,r2,Rc)

print((np.absolute(I1),np.absolute(I2),P1,P2))
--> (0.08891017556981491, 0.006641173831728565, 0.0004868216203917527, 0.0002205259493161813)

Pour obtenir une puissance de 5 W dans la résistance de charge, il faut E=150 V et I₁=13,4 A, ce qui est infaisable avec une alimentation de laboratoire.

Nous constatons donc que si le couplage est faible (ici k=0,1), même si l'emploi de bobines de faibles résistances permet d'améliorer le rendement, les courants et tensions nécessaires pour la source rendent le système quasi impossible à réaliser, même pour une puissance modeste de quelques watts.

2.c. Couplage avec résonance

Lorsque le couplage (coefficient k) est notablement inférieur à 1, le courant dans la bobine primaire doit avoir une intensité beaucoup plus grande que dans la charge, ce qui rend difficile l'obtention d'un fort courant dans celle-ci (voir l'exemple précédent). Il existe cependant un moyen d'augmenter l'intensité du courant dans le circuit secondaire : ajouter un condensateur pour obtenir une résonance en intensité (bien sûr cela n'est pas faisable dans le cas du chauffage par induction). Voyons le cas d'un condensateur placé en série :

Figure pleine page

Les équations s'écrivent :

\begin{matrix} E = (j L_{1} ω + r_{1}) \underset{̲}{I_{1}} + j M ω \underset{̲}{I_{2}} & (10) \\ 0 = (\frac{1}{j C_{2} ω} + j L_{2} ω + r_{2} + R_{c}) \underset{̲}{I_{2}} + j M ω I_{1} & (11) \end{matrix}

La fonction suivante fait les calculs :

def couplage_resonance2(f,L1,L2,k,r1,r2,C2,Rc):
    M = k*np.sqrt(L1*L2)
    w = 2*np.pi*f
    Z2 = 1/(1j*C2*w)+1j*L2*w+r2+Rc
    Z1 = 1j*L1*w+r1
    I1 = 1/(Z1+(M*w)**2/Z2)
    I2 = -1j*M*w*I1/Z2
    P1 = 0.5*np.real(I1)
    P2 = 0.5*Rc*np.absolute(I2)**2
    return I1,I2,P1,P2

Le but étant d'améliorer le rendement lorsqu'il est faible, en reprend le cas k=0,1 avec une auto-inductance de 1 mH et une résistance de 0,5 ohm, valeurs pour lesquelles le rendement maximal est d'environ 0,15 en l'absence de résonance :

L1 = L2 = 1e-3
r1 = r2 = 0.5
k = 0.1
Rc = 10
C2 = 1e-6
f = np.linspace(10,10e3,1000)
I1,I2,P1,P2 = couplage_resonance2(f,L1,L2,k,r1,r2,C2,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2)
r = P2/P1

figG.pdf

Voici pour comparaison les deux courbes de rendement, avec et sans condensateur :

figure()
plot(f,P2/P1,'r-')
I1,I2,P1,P2 = couplage(f,L1,L2,k,r1,r2,Rc)
plot(f,P2/P1,"r--")
grid()
ylabel('P2/P1')
xlabel('f (Hz)')

figH.pdf

Voici la fréquence qui maximise le rendement :

print(f[r.argmax()])
--> 5180.0

Le rendement est considérablement augmenté, à condition de se placer à cette fréquence ou en son voisinage.

f=5180
I1,I2,P1,P2 = couplage_resonance2(f,L1,L2,k,r1,r2,C2,Rc)

print((np.absolute(I1),np.absolute(I2),P1,P2))
--> (0.030853974274834297, 0.009423006287839032, 0.0007041554315164676, 0.0004439652375032696)

La puissance transmise à la charge est 10 fois plus grande que sans la résonance. Pour obtenir une puissance de 5 W, il faut E=106 V et un courant I₁=3,3 A, ce qui est toujours impossible à réaliser avec une alimentation de laboratoire. La résonance dans le circuit secondaire permet d'améliorer très fortement le rendement en puissance mais son effet sur la puissance transmise à la charge (pour E donné) est insuffisant pour rendre le système réalisable. Ce résultat se comprend si l'on remarque que le déphasage entre le courant et la tension (aux bornes de la source) dans le circuit primaire reste très proche de -90 deg. Ainsi l'impédance vue de la source reste quasi inductive malgré la résonance dans le circuit secondaire. Pour augmenter la puissance transmise par la source (par unité de E), il faut faire aussi une résonance dans le circuit primaire. En effet, l'impédance d'un circuit RLC série est résistive à la fréquence de résonance et on peut s'attendre à un gain significatif de puissance transmise à cette fréquence.

Voyons tout d'abord l'effet d'une résonance dans le circuit primaire seulement :

Figure pleine page

def couplage_resonance1(f,L1,L2,k,r1,r2,C1,Rc):
    M = k*np.sqrt(L1*L2)
    w = 2*np.pi*f
    Z2 = 1j*L2*w+r2+Rc
    Z1 = 1/(1j*C1*w)+1j*L1*w+r1
    I1 = 1/(Z1+(M*w)**2/Z2)
    I2 = -1j*M*w*I1/Z2
    P1 = 0.5*np.real(I1)
    P2 = 0.5*Rc*np.absolute(I2)**2
    return I1,I2,P1,P2

L1 = L2 = 1e-3
r1 = r2 = 0.5
k = 0.1
Rc = 10
C1 = 1e-6
f = np.linspace(10,10e3,1000)
I1,I2,P1,P2 = couplage_resonance1(f,L1,L2,k,r1,r2,C1,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2)

figI.pdf

print(f[P2.argmax()])
--> 5060.0

Comme prévu, le déphasage entre le courant et la tension (aux bornes de la source) dans le circuit primaire est nul à la résonance, ce qui maximise la puissance transmise à cette fréquence (pour E donné).

Cette solution n'apporte pas de gain de rendement mais elle a un effet important sur le courant dans la charge et sur la puissance transmise. Voici les valeurs à la fréquence qui maximise P₂ :

f=5060
I1,I2,P1,P2 = couplage_resonance1(f,L1,L2,k,r1,r2,C1,Rc)

print((np.absolute(I1),np.absolute(I2),P1,P2))
--> (1.6750276755546472, 0.15905301013708317, 0.8342431936452532, 0.1264893001683354)

Pour obtenir une puissance de 5 W dans la charge, il faut E=6,3 V (à comparer à 330 V sans la résonance) et un courant I₁=10,5 A. La résonance dans le circuit primaire permet donc d'augmenter considérablement la puissance transmise à la charge (pour E donnée) mais elle n'a pas d'effet sur le rendement.

Voyons l'effet d'une résonance dans les deux circuits :

Figure pleine page

def couplage_resonance12(f,L1,L2,k,r1,r2,C1,C2,Rc):
    M = k*np.sqrt(L1*L2)
    w = 2*np.pi*f
    Z2 = 1/(1j*C2*w)+1j*L2*w+r2+Rc
    Z1 = 1/(1j*C1*w)+1j*L1*w+r1
    I1 = 1/(Z1+(M*w)**2/Z2)
    I2 = -1j*M*w*I1/Z2
    P1 = 0.5*np.real(I1)
    P2 = 0.5*Rc*np.absolute(I2)**2
    return I1,I2,P1,P2

L1 = L2 = 1e-3
r1 = r2 = 0.5
k = 0.1
Rc = 10
C1 = C2 = 1e-6
f = np.linspace(10,10e3,1000)
I1,I2,P1,P2 = couplage_resonance12(f,L1,L2,k,r1,r2,C1,C2,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2)
r = P2/P1

figJ.pdf

Le rendement passe par un maximum similaire à celui qui est obtenu avec une résonance dans le circuit secondaire seul. Voici la fréquence de ce maximum :

print(f[r.argmax()])
--> 5180.0

La puissance P₂ passe par un maximum dont la valeur est beaucoup plus élevée que le rendement lorsqu'il y a résonance dans le circuit secondaire seul. Voici la fréquence de ce maximum :

print(f[P2.argmax()])
--> 5030.0

Voici la puissance dans la charge avec résonance dans le secondaire seulement et avec résonance dans les deux circuits :

figure()
plot(f,P2,'r-',label='C1 et C2')
I1,I2,P1,P2 = couplage_resonance2(f,L1,L2,k,r1,r2,C2,Rc)
plot(f,P2,'r--',label='C2')
grid()
ylabel(r"$P_2/E^2\ (\rm W\cdot V^2)$")
xlabel('f (Hz)')
yscale('log')
legend(loc='lower right')

figK.pdf

f=5030
I1,I2,P1,P2 = couplage_resonance12(f,L1,L2,k,r1,r2,C1,C2,Rc)

print((np.absolute(I1),np.absolute(I2),P1,P2))
--> (0.6888721359832292, 0.20734545358605647, 0.34434492482826357, 0.21496068561403747)

À la fréquence qui maximise P₂, pour transmettre 5 W à la charge, il faut E=4,8 V et I₁=3,3 A, ce qui est compatible avec l'utilisation d'une alimentation de laboratoire. Le rendement à cette fréquence est d'environ 0,6 (proche de la valeur maximale).

Nous pouvons conclure de cette étude que la résonance dans le circuit secondaire permet d'augmenter le rendement du transfert de puissance alors que la résonance dans le circuit primaire permet d'augmenter la puissance transmise à la charge pour une valeur de E donnée.

L'utilisation d'un tel circuit pour transmettre à la charge une puissance de l'ordre du watt se fait au moyen d'une source stabilisée en tension connectée au circuit primaire via un pont de transistors. Un pont en H (comportant 4 transistors) permet, à partir d'une source continue de tension 12 V, d'obtenir une tension alternative de forme carrée d'amplitude 12 V. Si la fréquence est ajustée à la fréquence de résonance, le rendement est maximal et la puissance transmise à la charge l'est aussi. Il faut remarquer que le courant dans les deux circuits est quasi sinusoïdal car le facteur de qualité de la résonance est relativement grand.

Voyons s'il est possible, pour un coefficient de couplage k=0,1 d'augmenter encore le rendement et la puissance transmise en diminuant les résistances des bobines mais sans trop réduire leur auto-inductance. Pour cela, il faut des bobines constituées d'un très gros fil avec peu d'enroulements. Voici le cas de la bobine de longueur 1 cm et de diamètre 10 cm, avec quatre couches d'un fil de diamètre 2 mm (sans doute le plus gros diamètre à usage courant) :

print(bobine(4,0.01,0.1,2.0e-3))
--> (7.89563076923077e-05, 0.036000000000000004)

L1 = L2 = 7.5e-5
r1 = r2 = 0.035
k = 0.1
Rc = 10
C1 = C2 = 1e-6
f = np.linspace(10e3,100e3,2000)
I1,I2,P1,P2 = couplage_resonance12(f,L1,L2,k,r1,r2,C1,C2,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2)

figK1.pdf

print(np.max(P2))
--> 3.0900387404278558

print(np.max(np.absolute(I1)))
--> 9.110980004968143

Le problème de cette solution se voit immédiatement sur les courbes d'intensité : le courant dans le primaire est beaucoup plus intense que celui dans le secondaire. À la fréquence de résonance, le rendement est loin de la valeur maximale. À la fréquence de résonance, une puissance de 5 W dans la charge est obtenue avec E=1,3 V et I₁=12,7 A, impossible à réaliser avec une alimentation de laboratoire.

Augmentons la fréquence de résonance en réduisant les capacités des condensateurs :

L1 = L2 = 7.5e-5
r1 = r2 = 0.035
k = 0.1
Rc = 10
C1 = C2 = 0.5e-6
f = np.linspace(10e3,100e3,2000)
I1,I2,P1,P2 = couplage_resonance12(f,L1,L2,k,r1,r2,C1,C2,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2)

figK2.pdf

print(f[P2.argmax()])
--> 25982.991495747876

print(np.max(P2))
--> 2.186562044312453

print(np.max(np.absolute(I1)))
--> 5.419797815116369

L'augmentation de la fréquence de résonance permet bien d'augmenter le rendement (à une valeur nettement plus grande que pour les bobines précédentes) mais la puissance transmise à la charge reste faible. Pour obtenir une puissance de 5 W, il faut E=1,5 V et I₁=12 A, ce qui est toujours trop grand pour une alimentation de laboratoire. Par ailleurs, la résistance d'un fil de 2 mm de diamètre à 25 kHz est augmentée par l'effet de peau, environ d'un facteur 1,5 (Effet de peau dans un fil rectiligne). Les courbes donnant de bonnes valeurs à 25 kHz pour cette bobine réalisée avec un fil de 2 mm seraient donc :

L1 = L2 = 7.5e-5
r1 = r2 = 0.035*1.5
k = 0.1
Rc = 10
C1 = C2 = 0.5e-6
f = np.linspace(10e3,100e3,2000)
I1,I2,P1,P2 = couplage_resonance12(f,L1,L2,k,r1,r2,C1,C2,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2)

figK3.pdf

print(np.max(P2))
--> 1.822644107558159

print(np.max(np.absolute(I1)))
--> 4.956896210600656

Le rendement à la résonance (de puissance) est un peu plus faible mais plus grand que pour les bobines précédentes. Ce calcul montre à quel point le rendement est sensible à la résistance des bobines. En réalité cette résistance est aussi affectée par l'effet de proximité, qui est très difficile à intégrer dans les modèles. Il faudra donc procéder à une détermination expérimentale du rendement pour avoir une idée précise de sa valeur effective.

Conclusion : l'utilisation de bobines réalisées avec des fils de très gros diamètre permet bien d'augmenter le rendement lorsque le coefficient de couplage est faible. Il reste cependant des modifications à faire dans le circuit primaire pour que la source puisse transmettre sa puissance à la charge de manière convenable, c'est-à-dire avec des valeurs de courant et de tension en adéquation avec cette puissance.

2.d. Amélioration de la résonance

Cette amélioration vise à augmenter la puissance transmise à la charge pour une source donnée. Dans le circuit primaire, on place le condensateur en parallèle avec la bobine. On obtient ainsi un circuit résonant LC parallèle, que l'on connecte à la source via une bobine d'auto-inductance L₀. L'objectif de cette configuration est d'obtenir (à la résonance) un courant I₁ dans la bobine primaire beaucoup plus grand que le courant I₀ délivré par la source (la plus grande partie du courant étant fourni par le condensateur). Le condensateur dans le circuit secondaire n'est plus nécessaire. Voici le nouveau circuit :

Figure pleine page

L'intensité I₁ est toujours celle du courant dans la bobine primaire mais l'intensité fournie par la source est I₀.

Voici les équations de ce système :

(\begin{matrix} j L_{0} ω + r_{0} + \frac{1}{j C_{1} ω} & - \frac{1}{j C_{1} ω} & 0 \\ j L_{0} ω + r_{0} & j L_{1} ω + r_{1} & j M ω \\ 0 & j M ω & j L_{2} ω + r_{2} + R_{c} \end{matrix}) (\begin{matrix} I_{0} \\ I_{1} \\ I_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} E \\ E \\ 0 \end{matrix})

Pour chaque fréquence, on résout ce système numériquement avec la fonction numpy.linalg.solve.

from numpy.linalg import solve

def couplage_resonance012(f,L0,L1,L2,k,r0,r1,r2,C1,C2,Rc):
    M = k*np.sqrt(L1*L2)
    w = 2*np.pi*f
    N = len(f)
    I0 = np.zeros(N,dtype=np.complex64)
    I1 = np.zeros(N,dtype=np.complex64)
    I2 = np.zeros(N,dtype=np.complex64)
    P0 = np.zeros(N)
    P2 = np.zeros(N)
    for i in range(N):
        A = np.zeros((3,3),dtype=np.complex64)
        A[0,0] = r0+1j*L0*w[i]+1/(1j*C1*w[i])
        A[0,1] = -1/(1j*C1*w[i])
        A[1,0] = r0+1j*L0*w[i]
        A[1,1] = 1j*L1*w[i]+r1
        A[1,2] = 1j*M*w[i]
        A[2,1] = 1j*M*w[i]
        A[2,2] = 1j*L2*w[i]+r2+Rc+1/(1j*C2*w[i])
        B = np.array([1,1,0])
        X = solve(A,B)
        I0[i],I1[i],I2[i] = X[0],X[1],X[2]
        P0[i] = 0.5*np.real(I0[i])
        P2[i] = 0.5*Rc*np.absolute(I2[i])**2
    return I0,I1,I2,P0,P2
    
def trace_bis(f,I0,I1,I2,P0,P2,Plog = True):
    figure(figsize=(16,8))
    subplot(221)
    plot(f,np.absolute(I1),label='I1')
    plot(f,np.absolute(I2),label='I2')
    plot(f,np.absolute(I0),label='I0')
    yscale('log')
    grid()
    legend(loc='upper right')
    ylabel('I/E (A/V)',fontsize=16)
    subplot(223)
    plot(f,np.angle(I1)*180/np.pi,label='I1')
    plot(f,np.angle(I2)*180/np.pi,label='I2')
    plot(f,np.angle(I0)*180/np.pi,label='I0')
    grid()
    xlabel('f (Hz)',fontsize=16)
    legend(loc='upper right')
    ylabel(r"$\phi\ (\rm deg)$",fontsize=16)
    subplot(224)
    plot(f,P2/P0)
    grid()
    ylabel('P2/P0',fontsize=16)
    ylim(0,1.1)
    xlabel('f (Hz)',fontsize=16)
    subplot(222)
    plot(f,P0,label='P0')
    plot(f,P2,label='P2')
    if Plog : yscale('log')
    else : ylim(0,max(P1.max(),P2.max())*2)
    grid()
    legend(loc='upper right')
    ylabel(r"$P/E^2\ (\rm W/V^2)$",fontsize=16)

Voici un premier essai avec L₀=L₁ (mêmes valeurs que pour l'exemple précédent) :

L1 = L2 = 7.5e-5
r1 = r2 = 0.035
L0 = L1
r0 = r1
k = 0.1
Rc = 10
C1 = C2 = 1e-6
f = np.linspace(1e3,50e3,2000)
I0,I1,I2,P0,P2 = couplage_resonance012(f,L0,L1,L2,k,r0,r1,r2,C1,C2,Rc)
trace_bis(f,I0,I1,I2,P0,P2)

figK4.pdf

print(np.max(P2))
--> 1.6827861326170712

print(np.max(np.absolute(I0)))
--> 5.539627

Ces courbes mettent en évidence trois fréquences remarquables :

La fréquence f₁ qui minimise I₀.
La fréquence f₂ qui maximise le rendement.
La fréquence f₃ qui maximise les courants et la puissance transmise à la charge.

La fréquence sera choisie entre f₂ et f₃, en fonction de la tension E et de la puissance que l'on souhaite transmettre à la charge. Par exemple pour E=10 V une puissance de 10 W est transmisse pour $P / E^{2} = 1 0^{- 1}$ . L'intensité du courant dans la charge est alors de 1 A mais celle délivrée par la source est de 55 A, ce qui est incompatible avec l'utilisation d'une alimentation de laboratoire. Ce qui pose problème dans cette solution se voit immédiatement sur les courbes de courant : l'intensité I₀ est beaucoup plus grande que I₂, à moins de ce placer au voisinage de la fréquence f₁ mais dans ce cas la puissance transmise est beaucoup trop faible.

Voyons l'évolution des courbes si l'on augmente la valeur de L₀ :

print(bobine(2,0.05,0.05,1e-3))
--> (0.0003672098765432099, 0.3466666666666667)

L1 = L2 = 7.5e-5
r1 = r2 = 0.035
L0 = 0.37e-3
r0 = 0.35
k = 0.1
Rc = 10
C1 = C2 = 1e-6
f = np.linspace(1e3,50e3,2000)
I0,I1,I2,P0,P2 = couplage_resonance012(f,L0,L1,L2,k,r0,r1,r2,C1,C2,Rc)
trace_bis(f,I0,I1,I2,P0,P2)

figK5.pdf

print(np.max(P2))
--> 0.09524650355679398

print(np.max(np.absolute(I0)))
--> 0.35413015

L'augmentation de L₀ a pour effet de rapprocher les fréquences f₂ et f₃. Cependant, le rendement à la fréquence f₃ est le même que précédemment. Par ailleurs la puissance maximale transmise est plus de 10 fois plus faible. Avec E=10 V, une puissance de 10 W est transmise à la charge à la fréquence f₃=20 kHz. Le rendement à cette fréquence est très proche du maximum. Le courant délivré par la source est nettement plus petit le courant dans la charge : I₀=3,5 A, ce qui est à la portée d'une alimentation de laboratoire. Ce choix de L₀ est donc bien meilleur que le précédent car le courant délivré par la source est beaucoup moins grand.

Remarque importante : sur cette simulation, le meilleur choix est une valeur de L₀ nettement plus grande que L₁ mais ce résultat ne peut être généralisé car il repose sur un modèle de calcul des résistances internes qui peut s'avérer inexact dans la réalité. Il faut toujours faire une simulation avec les caractéristiques des bobines (inductance et résistance) au plus proche de la réalité.

Il est aussi intéressant de tracer la tension aux bornes de la bobine primaire en fonction de la fréquence :

w = 2*np.pi*f
U1 = (I0-I1)*1/(1j*C1*w)
figure(figsize=(8,6))
plot(f,np.absolute(U1))
grid()
xlabel('f (Hz)',fontsize=16)
ylabel(r"$\frac{U_1}{E}$",fontsize=16)

figK6.pdf

À la résonance, la tension aux bornes du condensateur est 14 fois plus grande que la tension délivrée par la source. Si E=24 V, on aura à la résonance U₁=336 V. Le condensateur C₁ doit donc être capable de supporter des tensions de plusieurs centaines de volts. Des condensateurs de puissance sont spécialement fabriqués pour cet usage.

Ce circuit résonant primaire avec un condensateur en parallèle de la bobine apporte donc une amélioration très importante de la puissance transmise à la charge. La bobine d'auto-inductance L₀ doit être choisie correctement pour obtenir le meilleur effet et une quasi-coïncidence entre la résonance du courant et le maximum du rendement.

Cette solution est mise en œuvre dans Onduleur pour chauffage par induction afin de transmettre le maximum de puissance entre l'alimentation et l'induit.

Il est aussi possible de construire un oscillateur à partir du circuit résonant primaire. Le driver ZVS (Zero Voltage Supply) est un oscillateur de ce type fonctionnant avec deux transistors de puissance. Voir ZVS driver pour une description du circuit ZVS et ZVS module de chauffage par induction pour une application au chauffage par induction. L'avantage de ce système, outre sa simplicité, est de fournir automatiquement un courant dans la bobine oscillant à la fréquence de résonance. Il ne permet pas en revanche de moduler la puissance transmise à l'induit, ce qui se fait habituellement en modifiant légèrement la fréquence.

3. Étude expérimentale

3.a. Bobines

On utilise une paire de bobines réalisées spécialement pour mettre en évidence le couplage inductif et l'influence du coefficient de couplage. La bobine A (à gauche sur la photo ci-dessous) a une longueur de 130 mm et un diamètre de 55 mm. La bobine B (à gauche sur la photo ci-dessous), de même longueur mais de diamètre 45mm, peut s'insérer dans la bobine A. Le coefficient de couplage k peut donc être ajusté, avec probablement un coefficient proche de 1 lorsque la bobine B est complètement à l'intérieur de la bobine A.

Voici une photo des deux bobines lorsque la bobine B est complètement insérée dans la bobine A, ce qui correspond au coefficient de couplage maximal :

3.b. Dispositif expérimental

Il est possible d'étudier le système en régime sinusoïdal avec un générateur de signaux (GBF) à condition de se limiter à des puissances transmises à la charge de l'ordre du mW. Dans la mesure où le système a un fonctionnement linéaire, cette étude doit permettre de déterminer toutes les propriétés du système, utilisables ensuite pour une application à plus forte puissance. En particulier, le rendement énergétique ne dépend pas de la puissance délivrée à la charge.

Le dispositif expérimental permet de mesurer la puissance moyenne P₁ (reçue par la bobine primaire) et la puissance P₂ (reçue par la résistance de charge). Afin de mesurer le courant dans le circuit primaire, une résistance R=10 Ω est ajoutée en série mais cette résistance n'intervient pas dans le calcul des puissances et du rendement (bien qu'elle ait bien sûr un effet sur la puissance délivrée par le GBF). Lorsque la charge est débranchée, le dispositif permet aussi de mesurer l'auto-inductance et la résistance de la bobine primaire.

La carte SysamSP5 est utilisée pour l'enregistrement des signaux, au moyen du module Python pycanum.

Figure pleine page

La tension U_r est numérisée sur la voie EA0 (par rapport à la masse). La tension U_b aux bornes de la bobine est numérisée en mode différentiel sur les voies EA1 et EA5. La tension U_c aux bornes de la charge est numérisée sur la voie EA2 (par rapport à la masse). Remarquons qu'une des bornes de la bobine secondaire est mise à la masse, ce qui n'est pas une obligation car la mesure de U_c pourrait aussi se faire en différentiel. Les valeurs des résistances sont mesurées avec un ohmmètre : R_c=10,16 Ω et R=10,04 Ω.

Pour la mesure de l'impédance complexe de la bobine, on utilise la méthode exposée dans Étude d'une bobine. Cette mesure doit se faire sans la bobine secondaire. Les valeurs du modèle série de la bobine s'en déduisent :

\begin{matrix} L_{1} = \frac{I m (\underset{̲}{Z})}{2 π f} & (12) \\ r_{1} = R e (\underset{̲}{Z}) & (13) \end{matrix}

Le script suivant effectue l'acquisition des trois tensions et les différents calculs, pour une fréquence donnée choisie sur le GBF.

acquisition.py

import pycanum.main as pycan
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
R = 10.035 # résistance pour mesurer I1
Rc = 10.16 # résistance de charge

sys=pycan.Sysam("SP5")
freq = 1.0e3
Umax = 5.0
sys.config_entrees([0,1,2],[Umax,Umax,Umax],diff=[1])
fe=freq*100
te = 1/fe
N = 50000
sys.config_echantillon(te*1e6,N)
sys.acquerir()
t=sys.temps()[0]
U=sys.entrees()
sys.fermer()
Ur=U[0]
I1 = Ur/R
Ub=U[1]
Uc=U[2]

Ueff = np.std(Ub)
Ieff = np.std(I1)
cosphi = np.mean(Ub*I1)/(Ueff*Ieff)
print("cosphi = %f"%cosphi)
phi = np.arccos(cosphi)
print("phi = %f deg"%(phi*180/np.pi))
w = 2*np.pi*freq
Z = Ueff/Ieff
print("Z = %f Ohms"%Z)
r = Z*cosphi
print("r = %f Ohms"%r)
L = Z/w*np.sqrt(1-cosphi**2)
print("L = %f mH"%(L*1e3))

P1 = np.mean(Ub*I1)
print("P1 = %f W"%P1)
P2 = np.mean(Uc**2)/Rc
print("P2 = %f W"%P2)
print("rendement = %f"%(P2/P1))

plt.figure()
plt.plot(t,Ur,label='Ur')
plt.plot(t,Ub,label='Ub')
plt.plot(t,Uc,label='Uc')
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('U (V)')
plt.xlim(0,2e-3)
plt.grid()
plt.legend(loc='upper right')
plt.show()

Les trois tensions sont tracées. Lorsque l'impédance de la bobine devient beaucoup plus grande que R (à haute fréquence), la tension U_r a une faible amplitude. Il peut être alors judicieux de réduire le calibre de la voie correspondante. Les calibres disponibles sur la carte SysamSP5 sont 10, 5, 1 et 0,2 volts. Si la tension U_r devient trop faible pour être numérisée avec le calibre 0,2 volts, il faut augmenter R.

3.c. Étude des bobines

On mesure tout d'abord les caractéristiques de la bobine A (la plus large) à 1 kHz :

cosphi = 0.367085
phi = 68.464051 deg
Z = 3.509571 Ohms
r = 1.288311 Ohms
L = 0.514936 mH

puis à 10 kHz :

cosphi = 0.038027
phi = 87.820704 deg
Z = 33.788000 Ohms
r = 1.284847 Ohms
L = 0.517193 mH

et à 50 kHz :

cosphi = 0.016955
phi = 89.028478 deg
Z = 159.862486 Ohms
r = 2.710539 Ohms
L = 0.514965 mH

Voici les caractéristiques de la bobine B à 1 kHz :

cosphi = 0.201786
phi = 78.358554 deg
Z = 46.093450 Ohms
r = 9.301035 Ohms
L = 6.975821 mH

puis à 10 kHz :

cosphi = 0.025083
phi = 88.562704 deg
Z = 470.173311 Ohms
r = 11.793322 Ohms
L = 7.348415 mH

Pour la modélisation, on retiendra les valeurs suivantes pour la bobine A : L_a=0,51 mH et r_a=1,3 Ω (valable jusqu'à 10 kHz). Au delà de 10 kHz, la résistance augmente notablement à cause de l'effet de proximité. Pour la bobine B : L_b=7,0 mH et r_b=10 Ω.

La bobine B (qui s'insère dans la bobine A) a donc une auto-inductance environ 14 fois plus grande que la bobine A (et une résistance 7,7 fois plus grande). Il semble que ce dispositif soit prévu pour être utilisé avec la bobine A en primaire dans le but de montrer la force électromotrice aux bornes de la bobine B. Lorsqu'on branche la bobine A directement sur le GBF (tension en rouge), voici la tension observée aux bornes de la bobine B (en bleu), pour une fréquence de 10 kHz :

Lorsqu'on branche la bobine B directement sur le GBF (tension en rouge), voici la tension observée aux bornes de la bobine A (en bleu) :

La tension à vide aux bornes de la bobine secondaire (en bleu) est plus grande que la tension aux bornes de la bobine primaire (en rouge) lorsque la bobine A est utilisée en primaire. Lorsque la bobine secondaire est en circuit ouvert ( $I_{2} = 0$ ), la tension à ses bornes est :

\underset{̲}{U_{2}} = \frac{j M ω}{j L_{1} ω + r_{1}} \approx \frac{M}{L_{1}} E = k \sqrt{\frac{L_{2}}{L_{1}}} E (14)

On a donc intérêt à utiliser la bobine de plus forte auto-inductance en secondaire (la bobine B) afin de maximiser la tension $U_{2}$ . Dans ce cas, l'expérience donne :

k \sqrt{\frac{L_{2}}{L_{1}}} \approx 2, 9 (15)

ce qui conduit à k=0,78 lorsque la bobine B est compètement insérée dans la bobine A.

Comme nous allons le voir plus loin, c'est pourtant l'autre configuration (bobine B en primaire et bobine A en secondaire) qui donne le meilleur rendement de transfert d'énergie.

3.d. Couplage simple

Voici les résultats lorsque la bobine primaire est la bobine B (insérée dans la bobine A), à une fréquence de 1 kHz :

cosphi = 0.331516
phi = 70.639185 deg
Z = 45.443197 Ohms
r = 15.065146 Ohms
L = 6.755949 mH
P1 = 0.021372 W
P2 = 0.007131 W
rendement = 0.333654

Remarquons que les valeurs de L et r sont les valeurs apparentes en présence du circuit secondaire. La valeur de r est beaucoup plus grande, ce qui traduit la présence de la charge dans le circuit secondaire.

Voici les résultats à 10 kHz :

cosphi = 0.415049
phi = 65.477570 deg
Z = 252.946374 Ohms
r = 104.985251 Ohms
L = 3.640793 mH
P1 = 0.014041 W
P2 = 0.011031 W
rendement = 0.785656

Le rendement est beaucoup plus grand à cette fréquence. Voici les résultats à 20 kHz :

cosphi = 0.303444
phi = 72.335406 deg
Z = 453.953911 Ohms
r = 137.749728 Ohms
L = 3.431825 mH
P1 = 0.006564 W
P2 = 0.005112 W
rendement = 0.778767

Le rendement n'est pas plus élevé qu'à 10 kHz. La fréquence 10 kHz est donc assez grande.

Voici les résultats lorsque la bobine primaire est la bobine A (la plus grande), à 1 kHz :

cosphi = 0.732636
phi = 42.892149 deg
Z = 2.559388 Ohms
r = 1.875100 Ohms
L = 0.274498 mH
P1 = 0.005105 W
P2 = 0.001131 W
rendement = 0.221629

puis à 10 kHz :

cosphi = 0.161686
phi = 80.695203 deg
Z = 13.910553 Ohms
r = 2.249148 Ohms
L = 0.217393 mH
P1 = 0.005964 W
P2 = 0.001298 W
rendement = 0.217725

Le rendement n'augmente pas entre 1 kHz et 10 kHz et il est nettement inférieur à celui de la première configuration. Voici les résultats à 20 kHz :

cosphi = 0.092686
phi = 84.681877 deg
Z = 27.408033 Ohms
r = 2.540328 Ohms
L = 0.217167 mH
P1 = 0.005991 W
P2 = 0.001174 W
rendement = 0.195933

On obtient donc un rendement beaucoup plus grand lorsque la bobine de plus grande auto-inductance est utilisée en primaire.

Voyons si le modèle confirme la moindre efficacité de la seconde configuration (bobine A en primaire) comparé à la première (bobine B en primaire).

# bobine A en primaire 
L1 = 0.51e-3
L2 = 7.0e-3
r1 = 1.3
r2 = 10
k = 0.8
Rc = 10
f = np.linspace(100,20000,1000)
I1,I2,P1,P2 = couplage(f,L1,L2,k,r1,r2,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2)

figL.pdf

Le coefficient de couplage a été ajusté à k=0,8 pour obtenir un rendement proche du rendement expérimental, ce qui est proche de la valeur obtenue précédemment par mesure de tensions. Le rendement n'augmente presque pas entre 1 kHz et 10 kHz, conformément à l'observation expérimentale.

# bobine B en primaire 
L2 = 0.51e-3
L1 = 7.0e-3
r2 = 1.3
r1 = 10
k = 0.8
Rc = 10
f = np.linspace(100,20000,1000)
I1,I2,P1,P2 = couplage(f,L1,L2,k,r1,r2,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2)

figM.pdf

Le rendement augmente fortement de 1 kHz à 10 kHz, ce qui est conforme à l'observation expérimentale. La valeur maximale du rendement (0,8) est très proche de la valeur expérimentale (0,78). Le modèle confirme que la première configuration (la bobine B, de plus grande auto-inductance en primaire) donne un bien meilleur rendement (il s'agit de la bobine de plus petit diamètre). Gardons cette configuration et sortons partiellement la bobine B afin de réduire le coefficient de couplage. Voici les résultats lorsque la bobine B n'a que la moitié de sa longueur dans la bobine A :

cosphi = 0.109699
phi = 83.702060 deg
Z = 375.220322 Ohms
r = 41.161134 Ohms
L = 5.929847 mH
P1 = 0.003119 W
P2 = 0.001920 W
rendement = 0.615574

Comme prévu, le rendement est plus faible. Reprenons le modèle avec un coefficient de couplage plus faible, ajusté pour obtenir un rendement à haute fréquence d'environ 0,6 :

# bobine B en primaire 
L2 = 0.51e-3
L1 = 7.0e-3
r2 = 1.3
r1 = 10
k = 0.4
Rc = 10
f = np.linspace(100,20000,1000)
I1,I2,P1,P2 = couplage(f,L1,L2,k,r1,r2,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2)

figN.pdf

Le retrait de la bobine B de la moitié de sa longueur fait passer le coefficient de couplage de 0,8 à 0,4.

3.e. Couplage avec résonance : étude théorique

D'après l'étude théorique faite précédemment, la résonance dans le circuit primaire permet d'augmenter la puissance transmise à la charge mais c'est la résonance dans le circuit secondaire qui permet d'augmenter le rendement. Il semble a priori optimal d'avoir la même fréquence de résonance pour les deux circuits et de choisir cette fréquence proche de 10 kHz.

Pour le circuit secondaire, C₂=1 μF donne une fréquence de résonance de 7047 Hz. La même fréquence est obtenue dans le circuit secondaire avec C₁=73 nF. Voyons ce que donne la simulation avec ces valeurs, pour un couplage k=0,4 :

# bobine B en primaire 
L2 = 0.51e-3
L1 = 7.0e-3
r2 = 1.3
r1 = 10
k = 0.4
Rc = 10
C1 = 73e-9
C2 = 1.0e-6
f = np.linspace(100,20000,1000)
I1,I2,P1,P2 = couplage_resonance12(f,L1,L2,k,r1,r2,C1,C2,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2)

figO.pdf

La résonance permet de faire passer le rendement de 0,6 à 0,8 et elle permet d'augmenter la puissance reçue par la charge (par unité de E). Pour mieux voir l'effet sur la puissance P₂ traçons les courbes avec et sans résonance :

I1p,I2p,P1p,P2p = couplage(f,L1,L2,k,r1,r2,Rc)
figure(figsize=(8,6))
plot(f,P2,'r-',label='resonance')
plot(f,P2p,'r--',label='sans resonance')
xlabel('f (Hz)',fontsize=14)
ylabel(r"$P_2/E^2\ (\rm W/V^2)$",fontsize=14)
grid()
legend(loc='upper right')

figP.pdf

Pour obtenir une puissance de 1 W dans la charge à la fréquence qui maximise P₂, il faut E=16 V et un courant d'environ 160 mA, ce qui est réalisable avec une petite alimentation.

Voici la fréquence qui maximise le rendement :

r = P2/P1
fr = f[r.argmax()]

print(fr)
--> 7530.13013013013

et celle qui maximise P₂ :

fp = f[P2.argmax()]

print(fp)
--> 6494.294294294295

Ces deux fréquences sont notablement différentes mais, compte tenu de la faible variation du rendement au voisinage du maximum, il est préférable de se placer au maximum de la puissance, soit f=6494 Hz.

On peut se demander si la résonance améliore aussi le rendement lorsque k=0,8 :

# bobine B en primaire 
L2 = 0.51e-3
L1 = 7.0e-3
r2 = 1.3
r1 = 10
k = 0.8
Rc = 10
C1 = 73e-9
C2 = 1.0e-6
f = np.linspace(100,20000,1000)
I1,I2,P1,P2 = couplage_resonance12(f,L1,L2,k,r1,r2,C1,C2,Rc)
trace(f,I1,I2,P1,P2)

figQ.pdf

I1p,I2p,P1p,P2p = couplage(f,L1,L2,k,r1,r2,Rc)
figure(figsize=(8,6))
plot(f,P2,'r-',label='resonance')
plot(f,P2p,'r--',label='sans resonance')
xlabel('f (Hz)',fontsize=14)
ylabel(r"$P_2/E^2\ (\rm W/V^2)$",fontsize=14)
grid()
legend(loc='upper right')

figR.pdf

Le rendement passe de 0,8 à 0,85 environ, ce qui est une augmentation plus modeste que lorsque le couplage est plus faible (mais le rendement est déjà très grand). En revanche, la puissance transmise à la charge est moins grande que lorsque le couplage est plus faible.

3.f. Couplage avec résonance : étude expérimentale

On reprend le dispositif précédent en le complétant par les deux condensateurs :

Figure pleine page

Il s'agit d'une étude à faible puissance (quelques mW) avec une source réalisée par un générateur de signaux d'impédance de sortie R_s=50 Ω. Sachant que $r_{1} + R \approx 20 Ω$ , on doit s'attendre à une chute de tension (amplitude E) importante à la résonance.

Le rôle de la résistance R est de permettre la mesure du courant (via la mesure de la tension U_r). Cette résistance a une influence sur le maximum d'intensité du courant à la résonance dans le circuit primaire et sur le facteur de qualité de la résonance. Il faut donc qu'elle soit plus petite, ou au plus égale, à la résistance interne de la bobine. Dans le cas présent R=10 Ω est un compromis acceptable.

En usage réel (pour délivrer une puissance de l'ordre du watt ou plus) la résistance de sortie de la source doit être beaucoup plus faible et R doit être très faible, ou même nulle. Idéalement, l'amplitude E doit être constante. Il est intéresant de tracer les amplitudes de U_b et de U_c en fonction de la fréquence, par exemple pour E=10 V (une valeur typique minimale pour les tensions en sortie des ponts de transistors). Voici ces tracés pour R=1 Ω et k=0,4 :

# bobine B en primaire 
L2 = 0.51e-3
L1 = 7.0e-3
r2 = 1.3
r1 = 10
k = 0.4
Rc = 10
C1 = 73e-9
C2 = 1.0e-6
f = np.linspace(100,20000,1000)
M = k*np.sqrt(L1*L2)
w = 2*np.pi*f
R = 1
Z2 = 1/(1j*C2*w)+1j*L2*w+r2+Rc
Z1 = 1/(1j*C1*w)+1j*L1*w+r1+R
I1 = 1/(Z1+(M*w)**2/Z2)
I2 = -1j*M*w*I1/Z2
E = 10 # volts
Ub = (1j*L1*w+r1)*I1*E
Uc = Rc*I2*E
Ur = R*I1
figure(figsize=(8,6))
plot(f,np.absolute(Ub),label='Ub')
plot(f,np.absolute(Uc),label='Uc')
plot(f,np.absolute(100*Ur),label='100Ur')
plot([fp,fp],[0,40],'k--')
grid()
legend(loc='upper left')
xlabel("f (Hz)",fontsize=14)
ylabel("volts",fontsize=14)

figS.pdf

Le trait pointillé indique la fréquence qui maximise la puissance P₂ donc qui maximise U_c. La tension U_b atteint 33 V, soit 3,3 fois l'amplitude E. L'enregistrement de cette tension doit donc se faire avec une sonde différentielle munie d'un atténuateur.

Dans le cas où un générateur de signaux de résistance de sortie 50 Ω est utilisé, il faut la prendre en compte dans les calculs. On abaisse aussi la tension E afin que le maximum soit inférieur à 10 V (calibre maximal de la carte SysamSP5). On choisit R=10 Ω car une valeur de 1 Ω donnerait une tension U_r trop faible.

Rs = 50
R = 10
Z2 = 1/(1j*C2*w)+1j*L2*w+r2+Rc
Z1 = 1/(1j*C1*w)+1j*L1*w+r1+Rs+R
I1 = 1/(Z1+(M*w)**2/Z2)
I2 = -1j*M*w*I1/Z2
E = 3 # volts
Ub = (1j*L1*w+r1)*I1*E
Uc = Rc*I2*E
Ur = R*I1
figure(figsize=(8,6))
plot(f,np.absolute(Ub),label='Ub')
plot(f,np.absolute(Uc),label='Uc')
plot(f,np.absolute(100*Ur),label='100Ur')
plot([fp,fp],[0,10],'k--')
grid()
legend(loc='upper left')
xlabel("f (Hz)",fontsize=14)
ylabel("volts",fontsize=14)

figT.pdf

Avec E=3 V, la tension U_b reste toujours inférieure à 10 V. La tension U_r atteint à la résonance 70 mV, ce qui est mesurable avec une très bonne précision en utilisant le calibre 0,2 V de la carte SysamSP5.

Le condensateur de capacité C₂ est réalisé avec deux condensateurs de capacité nominale 68 nF et 4,7 nF en parallèle. Dans un premier temps, on observe la tension U_c et on ajuste la fréquence pour maximiser son amplitude. Le maximum a lieu pour une fréquence de $7540 \pm 300 H z$ . Comme le prévoit le modèle, ce maximum est très large. Voici des résultats expérimentaux obtenus avec la bobine B à moitié dans la bobine A (coefficient de couplage d'envion 0,4) :

cosphi = 0.321479
phi = 71.247609 deg
Z = 327.111223 Ohms
r = 105.159381 Ohms
L = 6.538167 mH
P1 = 0.020314 W
P2 = 0.013627 W
rendement = 0.670804

Nous avons constaté que le rendement est très peu sensible à la fréquence : une variation de 500 Hz en positif ou négatif ne le change pas. Cette faible inluence de la fréquence sur le rendement est conforme aux prédictions du modèle.

Voici les résultats pour la même position de la bobine B et la même fréquence mais sans les condensateurs C₁ et C₂ :

cosphi = 0.118192
phi = 83.212204 deg
Z = 293.915570 Ohms
r = 34.738607 Ohms
L = 6.160509 mH
P1 = 0.002093 W
P2 = 0.001147 W
rendement = 0.547953

L'ajout de la résonance permet donc de faire passer le rendement de 0,55 à 0,67.

Diminuons le couplage en réduisant la longueur de la bobine B dans la bobine A (40 mm), sans changer la fréquence. Voici les résultats avec résonance :

cosphi = 0.147963
phi = 81.491119 deg
Z = 325.679059 Ohms
r = 48.188357 Ohms
L = 6.798793 mH
P1 = 0.002861 W
P2 = 0.001647 W
rendement = 0.575577

et sans résonance :

cosphi = 0.065200
phi = 86.261662 deg
Z = 318.790186 Ohms
r = 20.785128 Ohms
L = 6.714732 mH
P1 = 0.001329 W
P2 = 0.000493 W
rendement = 0.371313

L'ajout de la résonance fait passer le rendement de 0,37 à 0,57.

Voici les résultats lorsque la bobine B n'a que 20 mm dans la bobine B, tout d'abord avec résonance :

cosphi = 0.064968
phi = 86.275012 deg
Z = 320.175416 Ohms
r = 20.801001 Ohms
L = 6.744011 mH
P1 = 0.012350 W
P2 = 0.004757 W
rendement = 0.385165

puis sans résonance :

cosphi = 0.040652
phi = 87.670173 deg
Z = 333.142922 Ohms
r = 13.542910 Ohms
L = 7.026195 mH
P1 = 0.000802 W
P2 = 0.000134 W
rendement = 0.166941

L'ajout de la résonance fait passer le rendement de 0,17 à 0,38.

Voici les résultats lorsque la bobine B est entièrement dans la bobine A (coefficient de couplage maximal), avec résonance :

cosphi = 0.830930
phi = 33.805650 deg
Z = 407.485972 Ohms
r = 338.592159 Ohms
L = 4.785541 mH
P1 = 0.010149 W
P2 = 0.007476 W
rendement = 0.736687

et sans résonance :

cosphi = 0.446291
phi = 63.494040 deg
Z = 216.796266 Ohms
r = 96.754202 Ohms
L = 4.095145 mH
P1 = 0.007906 W
P2 = 0.004817 W
rendement = 0.609323

L'ajout de la résonance fait passer le rendement de 0,61 à 0,74.

La comparaison entre les rendements sans et avec résonance doit être faite avec exactement la même position de la bobine B dans la bobine A. Nous avons en effet constaté que le rendement est extrêmement sensible à la position latérale de la bobine.

Pour finir, voici les résultats lorsque la bobine A (de plus faible inductance) est utilisée comme bobine primaire, la bobine B étant complétement insérée :

cosphi = 0.234494
phi = 76.438213 deg
Z = 10.830330 Ohms
r = 2.539646 Ohms
L = 0.222233 mH
P1 = 0.003805 W
P2 = 0.000668 W
rendement = 0.175637

Comme prévu, le rendement est beaucoup plus faible que lorsque la bobine primaire est la bobine B.

Ces résultats expérimentaux montrent que, sans modifier la fréquence, le système avec résonance permet d'augmenter fortement le rendement, pour une large plage de coefficients de couplage. Il faut cependant noter que cette conclusion est valable pour les bobines utilisées ici et avec une résistance R=10 Ω. En effet, l'emploi d'une bobine primaire de résistance interne plus faible et le retrait de la résistance R (qui ne sert qu'à la mesure) pourrait notablement modifier la réponse du système en fonction de la fréquence (en augmentant le facteur de qualité de la résonance). Il faut d'ailleurs remarquer qu'il est peut-être préférable de se contenter d'une résonance avec un facteur de qualité plus bas, donc de moindre efficacité, afin d'éviter un réglage trop précis de la fréquence.