Spectrométrie par réseau de diffraction

1. Introduction

Le réseau de fente est utilisé en spectroscopie, en particulier pour obtenir des spectres de raies dans le domaine des longueurs d'onde visibles. Dans un spectroscope, la répartition des raies sur le plan image en fonction de la longueur d'onde est obtenue au moyen d'un étalonnage avec un spectre de raies connues. On peut aussi utiliser le réseau pour faire des mesures directes de longueur d'onde, sans avoir à étalonner au préalable le dispositif. L'objectif de ces TP est de mettre en œuvre ce type de mesures, avec un réseau dont le nombre de traits par millimètre est connu. Nous allons utiliser deux méthodes :

• Mesure de la différence des angle de diffraction à l'ordre p et à l'ordre -p.
• Méthode du minimum de déviation.

2. Matériel

• Goniomètre.
• Lampe spectrale Hg ou Hg-Cd.
• Réseau 100 traits par millimètre.
• Miroir plan.

3. Rappels théoriques

On note i l'angle d'incidence des rayons sur le réseau, et α₁ l'angle de diffraction pour une longueur λ à l'ordre p=1. La formule du réseau s'écrit à l'ordre 1 :

$$sin{\alpha }_1-sini=\frac{\lambda }{a}\text{(1)}$$

où a est l'espacement des fentes.

On définit l'angle de déviation comme l'angle entre les rayons diffractés et les rayons incidents, c'est-à-dire :

$${\beta }_1={\alpha }_1-i\text{(2)}$$

On définit de même les angles α_-1 et β_-1 pour l'ordre p=-1 et la même longueur d'onde.

Voici le tracé des angles α₁ et α_-1 en fonction de l'angle d'incidence, pour une longueur d'onde de 500 nm.

import numpy
from matplotlib.pyplot import *

a = 0.01
Lambda = 0.5e-3

def alpha_1(incidence):
    return numpy.arcsin(numpy.sin(incidence)+Lambda/a)

def alpha_m1(incidence):
    return numpy.arcsin(numpy.sin(incidence)-Lambda/a)

i = numpy.linspace(-10.0,10.0,500)
a1 = alpha_1(i*numpy.pi/180.0)*180.0/numpy.pi
am1 = alpha_m1(i*numpy.pi/180.0)*180.0/numpy.pi

figure(figsize=(8,8))
plot(i,a1,label="p = 1")
plot(i,am1,label="p = -1")
xlabel("i (deg)")
ylabel("alpha (deg)")
axis([-10,10,-10,10])
grid()
legend(loc="upper left")
              

Figure pleine page

La différence entre ces deux angles semble à peu près constante. Voyons en détail cette différence :

figure()
plot(i,a1-am1)
xlabel("i (deg)")
ylabel("alpha_1-alpha_m1 (deg)")
grid()
              

Figure pleine page

Lorsque l'angle d'incidence est faible, on peut déterminer une longueur d'onde inconnue λ en pointant les rayons diffractés à l'ordre 1 et à l'ordre -1 et en relevant l'angle entre ces deux directions. La courbe ci-dessus montre que la différence des deux angles ne dépend pratiquement pas de l'angle d'incidence, lorsque celui-ci est inférieur à 5 degrés.

Voici le tracé de l'angle de déviation à l'ordre 1 :

def beta_1(incidence):
    return alpha_1(incidence)-incidence
    
b1 = beta_1(i*numpy.pi/180.0)*180.0/numpy.pi
               
figure()
plot(i,b1)
xlabel("i (deg)")
ylabel("beta_1 (deg)")
grid()
               

Figure pleine page

On voit que la déviation présente un minimum. Pour rechercher la condition du minimum, on commence par dériver la relation $\mathrm{(2)}$ par rapport à i :

$$\frac{d{\beta }_1}{di}=\frac{d{\alpha }_1}{di}-1=0\text{(3)}$$

En dérivant la relation $\mathrm{(1)}$ on obtient :

$$\frac{d{\alpha }_1}{di}cos{\alpha }_1-cosi=0\text{(4)}$$

ce qui donne finalement au minimum de déviation :

$$cos{\alpha }_1=cosi\text{(5)}$$

Les figures ci-dessus montrent que ces deux angles sont de signes contraires au minimum de déviation. On a donc :

$${\alpha }_1=-i\text{(6)}$$

La formule du réseau donne au minimum de déviation :

$$2sin\left(\frac{{\beta }_1}{2}\right)=\frac{\lambda }{a}\text{(7)}$$

On remarquera que la direction des rayons incidents peut être relevée très précisément en enlevant le réseau, plutôt que par visée de l'ordre 0.

4. Mesure des longueurs d'onde

On s'intéresse au spectre de raies de la lampe Hg ou de la lampe Hg-Cd. On utilise pour cela un réseau de 100 traits par millimètres.

Pour mesurer les longueurs d'onde des raies, on utilisera les deux méthodes : mesure de l'angle entre l'ordre 1 et -1, et méthode du minimum de déviation. On présentera les résultats dans un tableau bien lisible.