Systèmes ouverts

Systèmes ouverts en régime stationnaire

1. Machines à écoulement stationnaire

a. Machine à vapeur

1. Machines à écoulement stationnaire

a. Machine à vapeur

b. Turbine à vapeur

Travail fourni par le fluide aux aubages mobiles.

How does a steam turbine work ?

1. Machines à écoulement stationnaire

a. Machine à vapeur

b. Turbine à vapeur

c. Échangeur thermique

Échange thermique entre le fluide et l'extérieur.

2. Système ouvert en régime stationnaire

a. Conservation de la masse

Pendant une durée $d t$ la masse entrante $δ m$ est égale à la masse sortante.

Débit massique :

D_{m} = \frac{δ m}{d t}

Régime d'écoulement stationnaire : le débit massique est constant.

2. Système ouvert en régime stationnaire

a. Conservation de la masse

b. Système fermé à frontières mobiles

Hypothèse : la vitesse du fluide est uniforme sur une section droite du tuyau d'entrée et du tuyau de sortie.

Système fermé dont la frontière suit le mouvement du fluide en entrée et en sortie.

2. Système ouvert en régime stationnaire

a. Conservation de la masse

b. Système fermé à frontières mobiles

c. Bilan d'enthalpie

Premier principe appliqué au système fermé :

d U + d E_{c} + d E_{p} = δ W_{u} + δ W_{1} + δ W_{2} + δ Q

$δ W_{u}$ : travail utile des forces de pression, exercées par les parties mobiles dans l'organe.

$δ W_{1}$ : travail des forces de pression en entrée.

$δ W_{2}$ : travail des forces de pression en sortie.

$δ Q$ : transfert thermique (utile).

Écoulement unidimensionnel.

Déplacement de la frontière mobile en entrée : $d X_{1}$ .

Travail : $δ W_{1} = F_{1} d X_{1} = P_{1} δ V_{1} = δ m P_{1} v_{1}$ .

Déplacement de la frontière mobile en sortie : $d X_{2}$ .

Travail : $δ W_{2} = - F_{2} d X_{2} = - P_{2} δ V_{2} = - δ m P_{2} v_{2}$ .

Variation d'énergie interne du système fermé :

\begin{matrix} d U & = U_{f} - U_{i} \\ = δ m u_{2} + U^{s o} (t_{f}) - (δ m u_{1} + U^{s o} (t_{i})) \end{matrix}

$U^{s o}$ : énergie du fluide dans l'organe, constante en régime stationnaire.

Variation d'énergie cinétique du système fermé :

\begin{matrix} d E_{c} & = E_{c} (t_{f}) - E_{c} (t_{i}) \\ = \frac{1}{2} δ m c_{2}^{2} + E_{c}^{s o} (t_{f}) - (\frac{1}{2} δ m c_{1}^{2} + E_{c}^{s o} (t_{i})) \end{matrix}

$E_{c}^{s o}$ : énergie cinétique du fluide dans l'organe, constante en régime stationnaire.

Variation d'énergie potentielle du système fermé :

\begin{matrix} d E_{p} & = E_{p} (t_{f}) - E_{p} (t_{i}) \\ = δ m e_{p 2} + E_{p}^{s o} (t_{f}) - (δ m e_{p 1} + E_{p}^{s o} (t_{i})) \end{matrix}

$E_{p}^{s o}$ : énergie potentielle du fluide dans l'organe, constante en régime stationnaire.

Exemple : énergie potentielle de pesanteur dans les systèmes hydrauliques à forte dénivellée $e_{p} = g z$ .

\begin{matrix} δ m (u_{2} - u_{1}) + δ m (\frac{1}{2} c_{2}^{2} - \frac{1}{2} c_{1}^{2}) + δ m (e_{p 2} - e_{p 1}) \\ = & δ m w_{u} + δ m (P_{1} v_{1} - P_{2} v_{2}) + δ m q \end{matrix}

Premier principe pour un système ouvert en régime stationnaire:

h_{2} - h_{1} + e_{2} - e_{1} = w_{u} + q

$h_{1}, h_{2}$ : enthalpies massiques en entrée et en sortie.

$e_{1}, e_{2}$ : énergies mécaniques massiques en entrée et en sortie.

$w_{u}$ : travail utile (parties mobiles).

$q$ : transfert thermique massique vers le fluide.

Bilan d'énergie par unité de temps :

\begin{matrix} δ m (Δ h + Δ e) = δ m w_{u} + δ m q \\ D_{m} (Δ h + Δ e) = P_{u} + Φ_{t} \end{matrix}

$P_{u}$ : puissance mécanique utile.

$Φ_{t}$ : puissance thermique utile (flux thermique).

2. Système ouvert en régime stationnaire

a. Conservation de la masse

b. Système fermé à frontières mobiles

c. Bilan d'enthalpie

d. Bilan d'entropie

Second principe pour un système ouvert en régime stationnaire :

s_{2} - s_{1} = s_{c} + s_{e}

$s_{1}, s_{2}$ : entropies massiques en entrée et en sortie.

$s_{c}$ : entropie créée massique dans l'organe, strictement positive pour une transformation réelle, nulle dans le cas idéal réversible.

$s_{e}$ : entropie reçue massique.

3. Diagrammes thermodynamiques

a. Diagramme PV

Mélange diphasé (Liq/Vap) à l'équilibre à la pression $P$ :

$T=T_{vap}(P)$.

$x$ : titre en vapeur.

$v_l$(P) : volume massique du liquide saturant.

$v_v$(P) : volume massique de la vapeur saturante.

Volume massique du mélange :

v = x v_{v} (P) + (1 - x) v_{l} (P)

3. Diagrammes thermodynamiques

a. Diagramme PV

b. Diagramme PH

$h_l$(P) : enthalpie massique du liquide saturant.

$h_v$(P) : enthalpie massique de la vapeur saturante.

Enthalpie massique de vaporisation à la pression $P$ :

Δ_{v a p} h (P) = h_{v} (P) - h_{l} (P)

Enthalpie massique du mélange :

h = x h_{v} (P) + (1 - x) h_{l} (P)

3. Diagrammes thermodynamiques

a. Diagramme PV

b. Diagramme PH

c. Diagramme TS

Entropie de vaporisation à la pression $P$ :

\begin{matrix} Δ_{v a p} s (P) & = s_{v} (P) - s_{l} (P) \\ = \frac{Δ_{v a p} h (P)}{T_{v a p} (P)} \end{matrix}

4. Machine à vapeur : cycle de Rankine

Hypothèses :

Turbine : détente adiabatique et réversible.
Pompe : compression adiabatique et réversible.
Vapeur saturante en sortie de l'évaporateur.
Liquide saturant en sortie du condenseur.

Premier principe pour chaque organe :

\begin{matrix} h_{2} - h_{1} = q_{c} \\ h_{3} - h_{2} = - w_{t} \\ h_{4} - h_{3} = - q_{f} \\ h_{1} - h_{4} = w_{p} \end{matrix}

Second principe pour chaque organe :

\begin{matrix} s_{2} - s_{1} = s_{c} + s_{e} \\ s_{3} - s_{2} = 0 \\ s_{4} - s_{3} = s_{c}' + s_{e}' \\ s_{1} - s_{4} = 0 \end{matrix}

Efficacité de la machine (moteur) :

η = \frac{w_{t} - w_{p}}{q_{c}} = 1 - \frac{h_{3} - h_{4}}{h_{2} - h_{1}} = 0, 38