Effet de serre et bilan radiatif de la Terre

1. Modélisation d'une serre

La serre est constituée d'une vitre horizontale. L'air est confiné entre la vitre et le sol. Soit Φ le flux solaire incident, constitué de 3 pour cent d'UV, 42 pour cent de visible et 55 d'infrarouge proche (λ < 2.5 μm). Ce flux est variable suivant la saison, le moment de la journée, et l'orientation de la vitre. On adoptera la valeur conventionnelle Φ = 600 W/m². Une fraction d'environ t = 0.80 de ce flux incident est transmise par la vitre et parvient au sol, le reste étant réfléchi ou absorbé (a = 0.15) par le verre. Le sol sera assimilé à un corps noir; il absorbe donc entièrement ce rayonnement. Le rayonnement thermique du sol est situé dans l'infrarouge lointain, avec un maximum aux environs de 10 μm. On considère que le verre absorbe complètement ce rayonnement. Le rayonnement thermique provenant de l'extérieur est aussi entièrement absorbé par le verre.

La température du milieu extérieur est T_e = 293 K. Soient T_s la température du sol, T_a la température moyenne de l'air à l'intérieur de la serre, et T_v la température de la vitre. Celle-ci est supposée uniforme à travers l'épaisseur de la vitre car la résistance thermique de conduction (pour une vitre simple) est faible comparée aux résistances thermiques de convection. Le coefficient d'échange convectif entre la vitre et l'extérieur est h_e = 14 W/m²/K, à l'intérieur h_i = 6 W/m²/K. On définit également le coefficient d'échange convectif entre le sol et l'air h_s = 10 W/m²/K.

Figure pleine page

La puissance surfacique de rayonnement thermique du sol est donnée par la loi de Stefan-Boltzmann des corps noirs :

$${\Phi }_s=\sigma T_s^4$$

De même, le rayonnement thermique du verre est

$${\Phi }_v=\sigma T_v^4$$

et celui de l'extérieur :

$${\Phi }_e=\sigma T_e^4$$

À l'état stationnaire, le bilan thermique pour le sol, l'air et la vitre s'écrit :

$$\begin{array}{cc}\hfill & t\Phi +\sigma T_v^4=\sigma T_s^4+h_s(T_s-T_a)\hfill \\ \hfill & h_s(T_s-T_a)=h_i(T_a-T_v)\hfill \\ \hfill & a\Phi +\sigma T_e^4+\sigma T_s^4+h_i(T_a-T_v)=2\sigma T_v^4+h_e(T_v-T_e)\hfill \end{array}$$

Pour résoudre ce système d'équations non linéaires, on peut utiliser la méthode de Newton. Pour cela, on part d'une estimation des températures du sol et du verre T_so et T_vo puis on linéarise en écrivant :

$$\begin{array}{cc}\hfill & T_v^4\simeq T_{vo}^4+4T_{vo}^3(T_v-T_{vo})\hfill \\ \hfill & T_s^4\simeq T_{so}^4+4T_{so}^3(T_s-T_{so})\hfill \end{array}$$

Ceci donne le système linéaire suivant

$$\begin{array}{cc}\hfill & (4\sigma T_{so}^3+h_s)T_s-h_s{T}_a-4\sigma T_{vo}^3{T}_v=t\Phi -3\sigma T_{vo}^4+3\sigma T_{so}^4\hfill \\ \hfill & h_s{T}_s-(h_s+h_i)T_a+h_i{T}_v=0\hfill \\ \hfill & 4\sigma T_{so}^3{T}_s+h_i{T}_a-(h_i+8\sigma T_{vo}^3+h_e)T_v=-a\Phi -\sigma T_e^4-h_e{T}_e+3\sigma T_{so}^4-6\sigma T_{vo}^4\hfill \end{array}$$

La fonction suivante effectue la résolution de ce système

import numpy
import numpy.linalg

def solution(Ts,Ta,Tv,Te,phi,a,t,he,hi,hs):
    sigma = 5.67e-8
    A=numpy.zeros((3,3))
    B=numpy.zeros(3)
    A[0,0] = 4*sigma*Ts**3+hs
    A[0,1] = -hs
    A[0,2] = -4*sigma*Tv**3
    A[1,0] = hs
    A[1,1] = -hs-hi
    A[1,2] = hi
    A[2,0] = 4*sigma*Ts**3
    A[2,1] = hi
    A[2,2] = -(hi+8*sigma*Tv**3+he)
    B[0] = t*phi-3*sigma*Tv**4+3*sigma*Ts**4
    B[1] = 0
    B[2] = -a*phi-he*Te+3*sigma*Ts**4-6*sigma*Tv**4-sigma*Te**4
    x = numpy.linalg.solve(A,B)
    return (x[0],x[1],x[2])
              

Voici un exemple

Tv=293
Ts=293
Ta=293
Te=293
phi=300
a=0.3
t=0.7
he=50
hi=10
hs=10
for i in range(10):
    (Ts,Ta,Tv) = solution(Ts,Ta,Tv,Te,phi,a,t,he,hi,hs)
              

print([Ts-273,Ta-273,Tv-273])
--> [43.48088656751753, 34.42555300140782, 25.370219435298054]

2. Bilan radiatif moyen de la Terre

Figure pleine page