Frottement

Frottement solide

$\def\vect#1{{\overrightarrow{#1}}}$

1. Observations expérimentales

a. Forces de contact

Forces de contact dues aux déformations microscopiques.

Approximation du solide indéformable : les déformations sont négligeables à l'échelle du solide.

Principe des actions réciproques.

Forces normales et tangentielles.

Résultantes de forces distribuées sur la surface de contact.

1. Observations expérimentales

a. Forces de contact

b. Force d'adhérence (frottement statique)

Théorème de la quantité de mouvement appliqué au bloc immobile par rapport à la table :

\vec{0} = \vec{F} + \vec{T} + \vec{N} + m \vec{g}

\begin{matrix} \vec{F} + \vec{T} = \vec{0} \\ \vec{N} + m \vec{g} = \vec{0} \end{matrix}

Pas de glissement tant que $∥ \vec{T} ∥ < μ_{s} ∥ \vec{N} ∥$ .

$μ_{s}$ : coefficient de frottement statique .

Pas de glissement si $∥ \vec{F} ∥ < μ_{s} m g$ .

1. Observations expérimentales

a. Forces de contact

b. Force d'adhérence (frottement statique)

c. Frottement de glissement

Théorème de la quantité de mouvement appliqué au bloc :

m \frac{d \vec{v}}{d t} = \vec{F} + \vec{T} + \vec{N} + m \vec{g}

À vitesse constante :

\vec{0} = \vec{F} + \vec{T} + \vec{N} + m \vec{g}

Force de frottement $∥ \vec{T} ∥ = μ_{d} ∥ \vec{N} ∥$ .

$μ_{d}$ : coefficient de frottement dynamique, peu sensible à la vitesse ( $μ_{d} < μ_{s}$ ).

Les coefficients de frottement sont très sensibles à l'état de surface et aux polluants.

Très grande variabilité des mesures : nécessité d'un traitement statistique.

Ordre de grandeur pour les surfaces sèches : 0,2 à 0,8.

Frottement solide et collé-glissé

1. Observations expérimentales

a. Forces de contact

b. Force d'adhérence (frottement statique)

c. Frottement de glissement

d. Aspects microscopiques

Propriétés remarquables :

Force de frottement indépendante de l'aire de la surface de contact.
Coefficient de frottement peu dépendant des matériaux ($\mu_s\approx 0{,}5$).

Aire apparente du contact : $A_a$.

Aire réelle du contact : $A_r\ll A_a$.

Déformation des jonctions sous l'effet de la force normale :

\begin{equation*}A_r=\alpha\Vert\vect N\Vert\end{equation*}

Pas de glissement tant que :

\begin{equation*}\Vert\vect{T}\Vert<\beta A_r\end{equation*}

Glissement par rupture des jonctions : $\mu_s=\alpha\beta$.

Matériaux peu déformables : $\alpha$ faible et $\beta$ grand.

Matériaux très déformables : $\alpha$ grand et $\beta$ faible.

$\mu_s=\alpha\beta$ peu dépendant des matériaux.

2. Modélisation du frottement solide

a. Lois de Coulomb

Première loi de Coulomb

La force de frottement statique (force d'adhérence) ne peut dépasser une valeur qui est proportionnelle à la force normale appliquée au corps :

\begin{equation*}\Vert\vect{T}\Vert<\mu_s\Vert\vect{N}\Vert\end{equation*}

Tant que cette inégalité est vérifiée, les deux corps ne glissent pas l'un sur l'autre.

Glissement : le solide 2 est en mouvement de translation par rapport au solide 1.

Vitesse de glissement de 2 sur 1 : ${\vec{V}}_{2 / 1}$ , vitesse de translation de 2 dans le référentiel défini par le solide 1.

Si les deux solides sont en mouvement de translation dans le référentiel $R$ :

{\vec{V}}_{2 / 1} = {\vec{V}}_{2 / R} - {\vec{V}}_{1 / R}

Seconde loi de Coulomb

La force de frottement de glissement de 1 sur 2 est de même direction et de sens opposé à la vitesse de glissement de 2 par rapport à 1.

Elle est indépendante de la norme de la vitesse de glissement et varie proportionnellement à la force normale :

\begin{equation*}\Vert\vect{T}\Vert=\mu_d\Vert\vect{N}\Vert\end{equation*}

2. Modélisation du frottement solide

a. Lois de Coulomb

b. Puissance dissipée

Puissance des forces de contact pour deux solides en mouvement relatif de translation :

P = {\vec{T}}_{12} \cdot {\vec{V}}_{2} + {\vec{T}}_{21} \cdot {\vec{V}}_{1} = {\vec{T}}_{12} \cdot ({\vec{V}}_{2} - {\vec{V}}_{1})

D'après la seconde loi de Coulomb :

\begin{equation*}P=-\mu_d \Vert\vect N_{12}\Vert\Vert\vect V_2-\vect V_1\Vert\end{equation*}

Force non conservative dissipative : $P<0$.

2. Modélisation du frottement solide

a. Lois de Coulomb

b. Puissance dissipée

c. Exemple : objet sur un plan incliné

Hypothèse : le bloc ne glisse pas.

Dans le référentiel lié au plan incliné (galiléen) :

$\vec{T} + \vec{N} + m \vec{g} = \vec{0}$

Utilisation des composantes : $\vec{T} = T_{x} {\vec{u}}_{x}$ et $\vec{N} = N_{y} {\vec{u}}_{y}$ .

\begin{matrix} T_{x} + m g sin α = 0 \\ N_{y} - m g cos α = 0 \end{matrix}

Première loi de Coulomb : $| T_{x} | < μ_{s} | N_{y} |$ .

Condition de non glissement :

$tan (α) < μ_{s}$

Expérience : augmentation très lente de l'angle.

Vitesse de glissement $\vec{v} = v_{x} {\vec{u}}_{x}$ .

$v_x>0$ donc $T_{x} < 0$ .

Seconde loi de Coulomb :

T_{x} = - μ_{d} ∥ \vec{N} ∥

Théorème de la quantité de mouvement :

\begin{equation*}m\frac{d\vect v}{dt}=m\vect{g}+\vect{N}-\mu_d\Vert\vect N\Vert\vect u_x\end{equation*}

\begin{matrix} m \frac{d v_{x}}{d t} = m g sin α - μ_{d} | N_{y} | \\ 0 = - m g cos α + N_{y} \end{matrix}

\frac{d v_{x}}{d t} = g (sin α - μ_{d} cos α)

Freinage si $tan (α) < μ_{d}$ .

v_{x} (t) = v_{0} - g (μ_{d} cos α - sin α) t

Arrêt du glissement lorsque $v_x=0$.

Pas de freinage si $tan (α) > μ_{d}$