Superpositions d'ondes monochromatiques

1. Superposition de deux ondes planes sinusoïdales de même fréquence

Deux ondes planes progressives sinusoïdales de même fréquence et de même direction, se propagent en sens opposés :

\begin{matrix} a_{1} (x, t) = A_{1} cos (ω t - k x) \\ a_{2} (x, t) = A_{2} cos (ω t + k x) \end{matrix}

En utilisant la représentation complexe, on obtient la somme de ces deux ondes :

a (x, t) = a_{1} (x, t) + a_{2} (x, t) = 2 A_{2} cos (ω t) cos (k x) + (A_{1} - A_{2}) cos (ω t - k x)

Lorsque A₁=A₂, on obtient une onde stationnaire. Sinon, le résultat est un mélange d'une onde stationnaire et d'une onde progressive.

L'intensité est la moyenne temporelle du carré de a :

I = < a^{2} > = 2 A_{2}^{2} {cos}^{2} (k x) + \frac{{(A_{1} - A_{2})}^{2}}{2}

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2. Superposition de deux ondes monochromatiques dans un milieu dispersif

Deux ondes planes progressives monochromatiques, de même amplitude, de même direction et de même sens, ont leurs fréquences légèrement différentes :

\begin{matrix} a_{1} (x, t) = A cos (2 π f_{1} (t - \frac{x}{v_{1}})) \\ a_{2} (x, t) = A cos (2 π f_{2} (t - \frac{x}{v_{2}})) \end{matrix}

où v₁ et v₂ désignent les vitesses de phase des deux ondes. Dans un milieu dispersif, ces deux vitesses sont différentes.

La vitesse de phase en fonction de la fréquence s'écrit sous la forme :

v (f) = λ (f) f

La vitesse de groupe est définie par :

\frac{1}{v_{g}} = \frac{d k}{d ω} = \frac{d}{d f} (\frac{1}{λ})

Avec ces deux relations, on obtient la vitesse de groupe en fonction de la vitesse de phase et de la dérivée de celle-ci par rapport à la fréquence :

\frac{1}{v_{g}} = \frac{1}{v} (1 - \frac{1}{λ} \frac{d v}{d f})

Lorsque les deux fréquences f₁ et f₂ sont très proches, on peut écrire :

v_{2} = v_{1} + (f_{2} - f_{1}) \frac{d v}{d f}

La superposition des deux ondes est alors une onde sinusoïdale modulée en amplitude. La modulation se propage à la vitesse de groupe.

L'animation ci-dessous permet de modifier la fréquence f₂ et la dérivée de la vitesse de phase par rapport à la fréquence, qui traduit la dispersion du milieu. Pour une dispersion normale (par exemple le verre transparent en lumière visible), cette dérivée est négative et la vitesse de groupe est plus petite que la vitesse de phase.

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