Ondes vide

Ondes électromagnétiques dans le vide

1. Équation des ondes

a. Définition

Équation des ondes scalaire (équation de d'Alembert) :

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}

Une solution $u (x, y, z, t)$ est une onde.

Notation : $u (\vec{r}, t)$ .

L'équation des ondes est linéaire : si $u_{1} (\vec{r}, t)$ et $u_{2} (\vec{r}, t)$ sont deux solutions alors

u (\vec{r}, t) = α u_{1} (\vec{r}, t) + β u_{2} (\vec{r}, t)

est aussi solution.

Surface d'onde : surface constituée de points qui, à un instant $t$ , ont la même valeur de $u (\vec{r}, t)$ .

1. Équation des ondes

a. Définition

b. Ondes planes

Les surfaces d'onde sont des plans parallèles.

Il existe un repère $(O x y z)$ tel que $u (x, t)$ .

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}

1. Équation des ondes

a. Définition

b. Ondes planes

c. Ondes planes progressives

Une onde plane progressive se propageant dans le sens de $x$ croissant est une solution de la forme :

u_{+} (x, t) = F (t - \frac{x}{c})

où $F (t)$ définit le signal qui se propage.

Une onde plane progressive se propageant dans le sens de $x$ décroissant est une solution de la forme :

u_{-} (x, t) = G (t + \frac{x}{c})

Forme générale d'une onde plane solution de l'équation des ondes :

u (x, t) = F (t - \frac{x}{c}) + G (t + \frac{x}{c})

Onde non progressive.

1. Équation des ondes

a. Définition

b. Ondes planes

c. Ondes planes progressives

d. Ondes planes progressives sinusoïdales

Le signal est sinusoïdal :

F (t) = A cos (ω t + ψ_{0})

u_{+} (x, t) = A cos (ω t - k x + ψ_{0})

$k = \frac{2 π}{λ}$ : nombre d'onde.

$ω = \frac{2 π}{T}$ : pulsation.

$φ (x, t) = ω t - k x + ψ_{0}$ : phase de l'onde.

Une onde plane progressive sinusoïdale (O.P.P.S.) est de la forme :

\begin{matrix} u_{+} (x, t) = A cos (ω t - k x + ψ_{0}) \\ u_{-} (x, t) = A cos (ω t + k x + ψ_{0}) \end{matrix}

Elle est solution de l'équation de d'Alembert si :

k = \frac{ω}{c}

O.P.P.S. de direction de propagation quelconque.

$\vec{k} = \frac{2 π}{λ} \vec{u}$ : vecteur d'onde, précisant la longueur d'onde, la direction et le sens de propagation.

$(O x')$ axe de vecteur unitaire $\vec{u}$ .

$x' = \vec{u} \cdot \vec{O M} = \vec{u} \cdot \vec{r}$

\begin{matrix} u (\vec{r}, t) & = A cos (ω t - k x' + ψ_{0}) \\ = A cos (ω t - \vec{k} \cdot \vec{r} + ψ_{0}) \\ = A cos (ω t - (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z) + ψ_{0}) \end{matrix}

Notation complexe :

\begin{matrix} \underset{̲}{u} (\vec{r}, t) & = A e^{i (ω t - \vec{k} \cdot \vec{r} + ψ_{0})} \\ = \underset{̲}{A} e^{- i \vec{k} \cdot \vec{r}} e^{i ω t} \end{matrix}

Vitesse de phase d'une O.P.P.S. : vitesse de propagation d'une surface d'onde de phase donnée.

V_{φ} = \frac{ω}{k} = c

1. Équation des ondes

a. Définition

b. Ondes planes

c. Ondes planes progressives

d. Ondes planes progressives sinusoïdales

e. Ondes planes stationnaires

Somme de deux O.P.P.S. de même amplitude et fréquence mais de sens de propagation opposés :

u (x, t) = A cos (ω t - k x) + A cos (ω t + k x)

Utilisation de la représentation complexe :

\begin{matrix} \underset{̲}{u} (x, t) & = A (e^{- i k x} + e^{i k x}) e^{i ω t} \\ = 2 A cos (k x) e^{i ω t} \\ u (x, t) & = 2 A cos (k x) cos (ω t) \end{matrix}

Une onde plane stationnaire est une solution de l'équation des ondes de la forme :

u (x, t) = f (x) g (t)

Nœuds de vibration : valeurs de $x$ où

\begin{matrix} cos (k x) = 0 \\ k x = \frac{π}{2} + p π \\ x = \frac{λ}{4} + p \frac{λ}{2} \end{matrix}

Les nœuds de vibration sont espacés de $\frac{λ}{2}$ .

Une onde plane peut être ni progressive, ni stationnaire :

u (x, t) = A cos (ω t - k x) + B cos (ω t + k x)

Si $A < B$ , somme d'une onde progressive et d'une onde stationnaire.

1. Équation des ondes

a. Définition

b. Ondes planes

c. Ondes planes progressives

d. Ondes planes progressives sinusoïdales

e. Ondes planes stationnaires

f. Ondes planes progressives périodiques

Série de Fourier du signal :

\underset{̲}{F} (t) = \sum_{n = 1}^{P} \underset{̲}{A_{n}} e^{i (n ω_{1} t)}

$ω_{1} = \frac{2 π}{T_{1}}$ : pulsation fondamentale.

Onde plane progressive :

\underset{̲}{u} (x, t) = \underset{̲}{F} (t - \frac{x}{c}) = \sum_{n = 1}^{P} \underset{̲}{A_{n}} e^{i (n ω_{1} t - n k_{1} x)}

avec :

k_{1} = \frac{ω_{1}}{c}

Tous les harmoniques ont la même vitesse de phase.

2. Ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques

a. Définition

Équation de propagation dans le vide :

Δ \vec{E} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}

Équation des ondes (ou équation de d'Alembert) vectorielle.

Existence d'ondes électromagnétiques se propageant dans le vide à la célérité

c = \frac{1}{\sqrt{ε_{0} μ_{0}}} = 299 792 458 m \cdot s^{- 1} \approx 3, 00 \cdot 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}

La célérité d'une onde E.M. dans le vide est c quel que soit le référentiel.

Incompatible avec la cinématique newtonienne.

Une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique) a un champ électrique (complexe) de la forme :

\underset{̲}{\vec{E}} = \underset{̲}{{\vec{E}}_{0}} e^{i (ω t - \vec{k} \cdot \vec{r})}

$\vec{k}$ : vecteur d'onde.

$ω$ : pulsation.

Amplitude complexe du champ électrique :

\underset{̲}{{\vec{E}}_{0}} = E_{0 x} e^{i ψ_{x}} \vec{u_{x}} + E_{0 y} e^{i ψ_{y}} \vec{u_{y}} + E_{0 z} e^{i ψ_{z}} \vec{u_{z}}

Champ électrique réel :

\begin{matrix} E_{x} (\vec{r}, t) = E_{0 x} cos (ω t - \vec{k} \cdot \vec{r} + ψ_{x}) \\ E_{y} (\vec{r}, t) = E_{0 y} cos (ω t - \vec{k} \cdot \vec{r} + ψ_{y}) \\ E_{z} (\vec{r}, t) = E_{0 z} cos (ω t - \vec{k} \cdot \vec{r} + ψ_{z}) \end{matrix}

2. Ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques

a. Définition

b. Opérateurs linéaires

Opérateurs linéaires appliqués à un champ complexe :

\begin{matrix} d i v \vec{E} = R e [d i v \underset{̲}{\vec{E}}] \\ \vec{r o t} \vec{E} = R e [\vec{r o t} \underset{̲}{\vec{E}}] \\ Δ \vec{E} = R e [Δ \underset{̲}{\vec{E}}] \end{matrix}

Équations de Maxwell en régime sinusoïdal permanent :

Si $d i v \vec{E} = 0 \forall t$ alors $R e (d i v \underset{̲}{\vec{E}}) = 0$

et $I m (d i v \underset{̲}{\vec{E}}) = 0$ par remplacement $t \to t + \frac{T}{4}$ .

Réciproquement, si $R e (d i v \underset{̲}{\vec{E}}) = 0$ alors $d i v \vec{E} = 0$ .

Équivalence : $d i v \vec{E} = 0 \Leftrightarrow d i v \underset{̲}{\vec{E}} = 0$

Idem pour les autres équations.

2. Ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques

a. Définition

b. Opérateurs linéaires

c. Relation de dispersion

L'O.P.P.M. doit être solution de l'équation de propagation :

\begin{matrix} Δ \underset{̲}{\vec{E}} & = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \underset{̲}{\vec{E}}}{\partial t^{2}} \\ \frac{\partial^{2} \underset{̲}{\vec{E}}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} \underset{̲}{\vec{E}}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} \underset{̲}{\vec{E}}}{\partial z^{2}} & = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \underset{̲}{\vec{E}}}{\partial t^{2}} \\ - k_{x}^{2} \underset{̲}{\vec{E}} - k_{y}^{2} \underset{̲}{\vec{E}} - k_{z}^{2} \underset{̲}{\vec{E}} & = - \frac{ω^{2}}{c^{2}} \underset{̲}{\vec{E}} \\ k^{2} & = \frac{ω^{2}}{c^{2}} \\ k & = \frac{ω}{c} \end{matrix}

La relation de dispersion d'une O.P.P.M. est la relation entre $k$ et $ω$ .

Dans le vide, la relation de dispersion est :

$k = \frac{ω}{c}$ ou $λ = \frac{c}{f}$ .

Vitesse de phase $V_{φ} = \frac{ω}{k} = c$ .

Dans le vide, la vitesse de propagation est $c$ quelle que soit la fréquence.

2. Ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques

a. Définition

b. Opérateurs linéaires

c. Relation de dispersion

d. Structure vectorielle

\begin{matrix} \underset{̲}{\vec{E}} (\vec{r}, t) & = \vec{{\underset{̲}{E}}_{0}} e^{i (ω t - \vec{k} \cdot \vec{r})} \\ = \vec{{\underset{̲}{E}}_{0}} e^{i (ω t - k_{x} x - k_{y} y - k_{z} z)} \end{matrix}

Divergence :

\begin{matrix} d i v \underset{̲}{\vec{E}} & = \frac{\partial {\underset{̲}{E}}_{x}}{\partial x} + \frac{\partial {\underset{̲}{E}}_{y}}{\partial y} + \frac{\partial {\underset{̲}{E}}_{z}}{\partial z} \\ = - i ({\underset{̲}{E}}_{0 x} k_{x} + {\underset{̲}{E}}_{0 y} k_{y} + {\underset{̲}{E}}_{0 z} k_{z}) e^{i (ω t - \vec{k} \cdot \vec{r})} \\ = - i \vec{k} \cdot \vec{\underset{̲}{E}} \end{matrix}

Équation de Maxwell-Gauss :

\begin{matrix} d i v \underset{̲}{\vec{E}} = 0 \\ \vec{k} \cdot \underset{̲}{\vec{E}} = 0 \end{matrix}

\vec{k} \cdot \vec{E} = 0

Le champ électrique est orthogonal à la direction de propagation.

Équation de Maxwell-Faraday :

\begin{matrix} \frac{\partial \underset{̲}{\vec{B}}}{\partial t} & = - \vec{r o t} \underset{̲}{\vec{E}} \\ = i \vec{k} \land \underset{̲}{\vec{E}} \\ = i \vec{k} \land \underset{̲}{{\vec{E}}_{0}} e^{i (ω t - \vec{k} \cdot \vec{r})} \\ \underset{̲}{\vec{B}} & = \frac{i \vec{k} \land \underset{̲}{\vec{E}}}{i ω} \\ \vec{B} & = \frac{\vec{k} \land \vec{E}}{ω} \end{matrix}

Pour une O.P.P.M. dont la direction et le sens de propagation sont définis par le vecteur unitaire $\vec{u}$ :

\vec{B} = \frac{\vec{u} \land \vec{E}}{c}

Le champ magnétique est orthogonal à la direction de propagation et au champ électrique.

Structure d'une O.P.P.M. dans le vide :

$\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont orthogonaux à la direction de propagation.
Le trièdre $(\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})$ est direct.
$\vec{E}$ et $\vec{B}$ oscillent en phase et :

B = \frac{E}{c}

Une onde E.M. dans le vide (illimité) est transversale pour le champ électrique (TE) et transversale pour le champ magnétique (TM).

2. Ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques

a. Définition

b. Opérateurs linéaires

c. Relation de dispersion

d. Structure vectorielle

e. Polarisation rectiligne

O.P.P.M. de polarisation rectiligne : la direction de $\vec{E}$ est constante.

\begin{matrix} \underset{̲}{\vec{E}} & = {\vec{E}}_{0} e^{i ψ} e^{i (ω t - \vec{k} \cdot \vec{r})} \\ \vec{E} & = {\vec{E}}_{0} cos (ω t - \vec{k} \cdot \vec{r} + ψ) \\ \vec{B} & = \frac{\vec{k} \land {\vec{E}}_{0}}{ω} cos (ω t - \vec{k} \cdot \vec{r} + ψ) \end{matrix}

avec :

{\vec{E}}_{0} \cdot \vec{k} = 0

Exemple :

\begin{matrix} E_{y} (x, t) = E_{0} cos (ω t - k x + ψ) \\ B_{z} (x, t) = \frac{E_{0}}{c} cos (ω t - k x + ψ) \end{matrix}

Propagation dans le sens $- \vec{u_{x}}$ :

\begin{matrix} E_{y} (x, t) = E_{0} cos (ω t + k x + ψ) \\ B_{z} (x, t) = - \frac{E_{0}}{c} cos (ω t + k x + ψ) \end{matrix}

2. Ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques

a. Définition

b. Opérateurs linéaires

c. Relation de dispersion

d. Structure vectorielle

e. Polarisation rectiligne

f. Polarisation circulaire

O.P.P.M. de vecteur d'onde $\vec{k} = k \vec{u_{x}}$

$\vec{\underset{̲}{E_{0}}} = E_{0 y} e^{i ψ_{y}} \vec{u_{y}} + E_{0 z} e^{i ψ_{z}} \vec{u_{z}}$

Cas particulier :

$E_{0 y} = E_{0 z} = E_{0}$
$ψ_{y} = ψ_{z} \pm \frac{π}{2}$

$\vec{\underset{̲}{E_{0}}} = E_{0} e^{i ψ_{y}} (\vec{u_{y}} + e^{\pm i \frac{π}{2}} \vec{u_{z}})$

\begin{matrix} E_{y} (x, t) = E_{0} cos (ω t - k x + ψ_{y}) \\ E_{z} (x, t) = \pm E_{0} sin (ω t - k x + ψ_{y}) \end{matrix}

Polarisation circulaire : le vecteur $\vec{E}$ décrit un cercle.

2. Ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques

a. Définition

b. Opérateurs linéaires

c. Relation de dispersion

d. Structure vectorielle

e. Polarisation rectiligne

f. Polarisation circulaire

g. Puissance rayonnée

Vecteur de Poynting d'une O.P.P.M. de polarisation rectiligne :

\vec{Π} = \frac{\vec{E} \land \vec{B}}{μ_{0}} = \frac{E_{0}^{2}}{μ_{0} c} {cos}^{2} (ω t - k x) \vec{u_{x}}

Puissance rayonnée à travers une surface orientée :

P_{r a y} = \iint_{S} \vec{Π} \cdot \vec{n} d S

Surface d'aire $S$ perpendiculaire à la direction de propagation, orientée dans le sens de $\vec{k}$ :

P_{r a y} = \frac{E_{0}^{2} S}{μ_{0} c} {cos}^{2} (ω t - k x)

Puissance moyenne :

\begin{matrix} < P_{r a y} > & = \frac{E_{0}^{2} S}{μ_{0} c} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} {cos}^{2} (ω t - k x) d t \\ = \frac{E_{0}^{2} S}{2 μ_{0} c} \end{matrix}

Densité volumique d'énergie électromagnétique :

\begin{matrix} w_{e m} & = \frac{1}{2} ε_{0} {\vec{E}}^{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{μ_{0}} {\vec{B}}^{2} \\ = \frac{1}{2} ε_{0} E_{0}^{2} {cos}^{2} (ω t - k x) + \frac{1}{2} ε_{0} c^{2} \frac{E_{0}^{2}}{c^{2}} {cos}^{2} (k x - ω t) \\ = ε_{0} E_{0}^{2} {cos}^{2} (k x - ω t) \end{matrix}

Densité d'énergie moyenne :

< w_{e m} > = \frac{ε_{0} E_{0}^{2}}{2}

Vecteur densité de flux d'énergie moyen :

\begin{matrix} < \vec{Π} > & = \frac{E_{0}^{2}}{2 μ_{0} c} \vec{u_{x}} \\ = w_{e m} c \vec{u_{x}} \end{matrix}

Courant d'énergie électromagnétique moyen dans la direction $\vec{u_{x}}$ , à la vitesse $c$ .

2. Ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques

a. Définition

b. Opérateurs linéaires

c. Relation de dispersion

d. Structure vectorielle

e. Polarisation rectiligne

f. Polarisation circulaire

g. Puissance rayonnée

h. Spectre des ondes électromagnétiques