Table des matières Mathematica

Expérience des fentes d'Young

1. Présentation

Une fente F de largeur bs est placée devant une lampe à décharge délivrant une lumière monochromatique de longueur d'onde λ. À une distance Ds, on place un écran comportant deux fentes espacées de a, chacune ayant une largeur b. L'écran d'observation est placé à une distance D. Une variante de ce montage consiste à placer la fente F au foyer objet d'une lentille convergente de focale Ds et le plan d'observation au foyer image d'une lentille convergente de focale D. Pour obtenir le maximum d'éclairement dans le champ d'interférence, le plus simple est de placer une seule lentille convergente avant les fentes F1 et F2, réalisant l'image de la fente F sur le plan d'observation.

figFentesYoung.svgFigure pleine page

2. Calcul de l'éclairement

On calcul tout d'abord l'éclairement pour une fente source F très fine (bs→0), celle-ci étant placée à une abscisse xs. On considère la diffraction par les fentes F1 et F2 observée à l'infini, approximation valable si D est grand devant a. On suppose aussi que Ds est grand devant a.

Si on pose

l'angle d'arrivée des rayons sur les fentes et

l'angle des rayons diffractés parvenant au point d'abscisse X sur l'écran, l'amplitude complexe lumineuse en ce point est l'intégrale suivante effectuée sur l'ouverture constituée par les fentes F1 et F2 :

On obtient l'éclairement :

Pour finir, on tient compte de la largeur non nulle bs de la fente F sachant qu'elle est éclairée par une source de lumière ne possédant pas de cohérence spatiale. Il faut donc faire la somme des éclairements :

3. Courbes d'éclairement

On calcule tout d'abord l'intégrale ci-dessus :

f=(Cos[p+q*x]*Sin[r+s*x]/(r+s*x))^2;
g=Integrate[f,x];
e = (g/.{x->bsource/2})-(g/.{x->-bsource/2});
            

puis on définit une fonction calculant l'éclairement à une abscisse X :

eclairement[lambda_,a_,b_,bs_,d_,ds_,X_]:=Module[{},
	Return[Abs[N[e/.{p->N[Pi/lambda*a*X/d],q->N[Pi/lambda*a/ds],r->N[Pi/lambda*b*X/d],s->N[Pi/lambda*b/ds],bsource->N[bs]}]]]
];
            

Enfin on fixe les différentes constantes puis on trace l'éclairement :

lambda=0.6*10^-6;
a=0.6*10^-3;
b=0.1*10^-3;
d=0.5;
ds=0.5;
            
bs=0.1*10^-3;
i0 = eclairement[lambda,a,b,bs,d,ds,0];
Xmax = 6*10^-3;
                        
Plot[eclairement[lambda,a,b,bs,d,ds,X]/i0,{X,-Xmax,Xmax},
                                PlotRange->{{-Xmax,Xmax},{0,1}},AxesLabel->{"X","I"}]
plot1.svgFigure pleine page

On augmente la largeur de la fente F :

bs=0.2*10^-3;
i0 = eclairement[lambda,a,b,bs,d,ds,0];
Xmax = 6*10^-3;
                        
Plot[eclairement[lambda,a,b,bs,d,ds,X]/i0,{X,-Xmax,Xmax},
                                PlotRange->{{-Xmax,Xmax},{0,1}},AxesLabel->{"X","I"}]
plot2.svgFigure pleine page
bs=0.4*10^-3;
i0 = eclairement[lambda,a,b,bs,d,ds,0];
Xmax = 6*10^-3;
                        
Plot[eclairement[lambda,a,b,bs,d,ds,X]/i0,{X,-Xmax,Xmax},
                                PlotRange->{{-Xmax,Xmax},{0,1}},AxesLabel->{"X","I"}]
plot3.svgFigure pleine page

On vérifie que le contraste s'annule pour

bs=0.5*10^-3;
i0 = eclairement[lambda,a,b,bs,d,ds,0];
Xmax = 6*10^-3;
                        
Plot[eclairement[lambda,a,b,bs,d,ds,X]/i0,{X,-Xmax,Xmax},
                                PlotRange->{{-Xmax,Xmax},{0,1}},AxesLabel->{"X","I"}]
plot4.svgFigure pleine page

Au delà de cette valeur, les franges sont de nouveau visibles mais avec un contraste faible

bs=0.75*10^-3;
i0 = eclairement[lambda,a,b,bs,d,ds,0];
Xmax = 6*10^-3;
                        
Plot[eclairement[lambda,a,b,bs,d,ds,X]/i0,{X,-Xmax,Xmax},
                                PlotRange->{{-Xmax,Xmax},{0,1.5}},AxesLabel->{"X","I"}]
plot5.svgFigure pleine page
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