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Interférences avec deux sources ponctuelles

1. Éclairement

Deux sources ponctuelles synchrones S1 et S2 sont séparées d'une distance a. Soit O le centre du segment S1S2. Le plan d'observation E est situé à une distance D du point O. On définit un repère orthogonal tel que Oz soit perpendiculaire au plan d'observation. Les deux sources sont dans le plan Oxz, le segment S1S2 formant un angle θ avec l'axe Oz.

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La différence de marche en un point M(x,y) de E est :

Si les deux sources sont monochromatiques, l'éclairement est :

L'observation se fait généralement à une distance D grande par rapport à la distance a entre les sources. Par exemple, si θ = π/2, la différence de marche a la forme approchée :

Dans ce cas, les franges d'interférences sont rectilignes, parallèles à l'axe y.

2. Calcul de la figure d'interférence

On cherche à générer une image bitmap représentant une portion carrée du plan d'observation. Soit NxN les dimensions de cette image. Si l'image est affichée à l'écran sans facteur d'échelle, NxN est le nombre de pixels. Soit L la largeur correspondant à cette zone représentée.

Pour obtenir une représentation de l'éclairement ci-dessus, il faut échantillonner la fonction I(x,y) à une fréquence d'échantillonnage :

D'après le théorème de Shannon, la fréquence d'échantillonnage doit être supérieure au double de la plus grande fréquence présente dans la fonction I(x,y). Si ce critère n'est pas respecté, il se produit un repliement de bande qui dans le cas présent peut conduire à des figures d'interférences complètement erronées.

Prenons l'exemple des franges rectilignes obtenues pour θ = π/2. La fréquence d'échantillonnage doit être supérieure à deux fois l'inverse de l'interfrange :

Pour N fixé, l'augmentation de a conduit au phénomène de repliement de bande dès que a est supérieur à

Pour résoudre ce problème, il faut appliquer un filtrage passe-bas à l'image avant d'effectuer l'échantillonnage. Dans le cas des capteurs (CCD ou CMOS) des appareils photo numériques, un filtre passe-bas est placé juste au dessus du capteur. Ce filtre permet d'éviter les moirés qui apparaissent sur les photographies de textures présentant des motifs réguliers très fins (par exemple certains tissus). L'inconvénient du filtrage est qu'il réduit nécessairement le contraste des détails les plus fins (ceci est compensé par une accentuation logicielle). Les photographies sur films argentiques n'ont pas cet inconvénient puisque l'échantillonnage se fait par les grains du film, qui présentent une répartition aléatoire.

Dans le cas présent, le filtrage consiste à modifier la fonction d'éclairement :

C(a,θ) est une fonction de contraste à déterminer empiriquement. Après quelques essais, la forme retenue est la suivante. On définit tout d'abord le paramètre :

puis la fonction de contraste :

3. Simulation

La simulation suivante permet de faire varier la distance entre les sources et l'angle θ. La distance entre les sources et le plan d'observation est D = 100 mm. La lumière peut être choisie monochromatique ou blanche. Dans le cas de la lumière blanche, aucun filtrage n'est appliqué.

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