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Distribution de gauss

1. Introduction

Une variable aléatoire x obéit à la distribution de Gauss (ou distribution normale), si sa densité de probabilité est :

L'espérance de x est μ, son écart-type est σ.

Une application importante est la somme de N nombres aléatoires, qui obéit à la distribution de Gauss lorsque N est assez grand. Le théorème de la limite centrale établit que la distribution des moyennes empiriques (calculées avec N échantillons, N très grand) d'une variable aléatoire y est une distribution de Gauss dont l'écart type est :

var(y) est la variance de la variable aléatoire et N le nombre d'échantillons utilisés pour le calcul de la moyenne. μ est l'espérance de y.

2. Simulation de Monte-Carlo

Il s'agit de générer des échantillons de la variable réelle x obéissant à la distribution de Gauss. On suppose que l'on dispose d'un générateur de nombres pseudo-aléatoires délivrant des nombres (flottants) avec une distribution uniforme. On utilisera la fonction random.uniform(a,b), qui génère un flottant dans l'intervalle [a,b], représentant un nombre réel aléatoire de densité uniforme sur cet intervalle. Pour générer rapidement un tableau de N nombres aléatoires, on pourra aussi utiliser la fonction numpy.random.random(N).

La variable aléatoire x peut être obtenue à partir de deux variables aléatoires u1 et u2 uniformes sur [0,1], par la transformation suivante :

(1) Écrire une fonction générant les nombres x, pour μ=0 et pour une valeur de σ donnée.

(2) Tester cette fonction en calculant la moyenne et l'écart-type pour un nombre N d'échantillons assez grand.

Pour vérifier que les nombres tirés obéissent bien à la distribution de Gauss, on doit calculer un histogramme des N valeurs tirées. Pour cela, il faut tout d'abord choisir un intervalle assez large pour contenir pratiquement toutes les valeurs générées (à choisir en fonction de σ). Cet intervalle est divisé en P sous-intervalles égaux, chacun de largeur . L'histogramme est un tableau H à P éléments. L'élément H[i] contient le nombre d'échantillons dont la valeur x se trouve dans le sous-intervalle correspondant.

L'histogramme représente une densité de probabilité. Les valeurs de H seront donc divisées d'une part par le nombre de tirages, d'autre part par la largeur des sous-intervalles.

(3) Générer l'histogramme pour un nombre de tirages assez grand. Faire une comparaison avec la densité de probabilité théorique p(x) de la distribution de Gauss.

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