Filtres actifs de Sallen et Key

2.a. Filtre d'ordre 2

La figure suivante montre le schéma d'un filtre passe-bas de Sallen et Key :

Figure pleine page

L'élément actif est un amplificateur de tension de gain K. Idéalement, l'amplificateur doit avoir une impédance d'entrée assez grande pour pouvoir être considérée comme infinie, et une impédance de sortie nulle. Il réalise la fonction suivante :

$$V_s\left(t\right)=K{V}_1\left(t\right)\text{(1)}$$

À l'origine, il s'agissait d'un amplificateur à tube. Aujourd'hui, les transistors (inventés en 1947) ont remplacés les tubes (ceux-ci sont encore utilisés en Hi-Fi haut de gamme). Pour réaliser un amplificateur de tension, la solution la plus simple est d'utiliser un circuit intégré appelé amplificateur linéaire intégré (ou ampli-op). Un gain K=1 peut être obtenu avec un montage suiveur :

Figure pleine page

Pour obtenir un gain supérieur à 1, on utilise le montage amplificateur non-inverseur :

Figure pleine page

Pour un ampli-op idéal, la fonction de transfert est de la forme suivante ([2]) :

$$H\left(\omega \right)=\frac{K}{1+mj\frac{\omega }{{\omega }_c}+(j\frac{\omega }{{\omega }_c}{)}^2}\text{(2)}$$

avec :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & {\omega }_c=\frac{1}{R\sqrt{C_1{C}_2}}\hfill & \hfill \text{(3)}\\ \hfill & m=2\sqrt{\frac{C_1}{C_2}}+\sqrt{\frac{C_2}{C_1}}(1-K)\hfill & \hfill \text{(4)}\end{array}$$

La première relation fixe la fréquence de coupure. Le coefficient m est ajusté pour optimiser la réponse fréquentielle du filtre. Une réponse de type Butterworth donne une décroissance uniforme de -40 décibels par décade dans la bande atténuée. Cela est obtenu avec

$$m=\sqrt{2}\text{(5)}$$

Un manière simple d'obtenir cette valeur est de choisir K=1 (amplificateur suiveur) et 2C₁=C₂. Cette solution a l'avantage de donner un filtre de gain unité dans la bande passante. L'inconvénient est la difficulté pratique qu'il y a à choisir deux condensateurs vérifiant cette condition tout en fixant la fréquence de coupure. Par ailleurs, il peut être intéressant de faire varier le gain K. Une solution plus souple consiste à choisir C₁=C₂=C. On a alors m=3-K. La valeur de K peut être ajustée précisément en plaçant un potentiomètre dans le pont diviseur. Pour obtenir le filtre de Butterworth d'ordre 2, il faut donc K=1.586.

Voici un exemple :

import numpy
from  matplotlib.pyplot import *

C=10e-9
R=22e3
m=numpy.sqrt(2)
K=3-m
fc=1.0/(1*numpy.pi*R*C)
def H(f):
    return K/(1+1j*m*f/fc-(f/fc)**2)
def bode(H,start,stop):
    freq = numpy.logspace(start=start,stop=stop,num=1000)
    h = H(freq)
    gdb = 20*numpy.log10(numpy.absolute(h))
    phi = numpy.angle(h)
    figure(figsize=(8,8))
    subplot(211)
    plot(freq,gdb)
    xscale('log')
    xlabel("f (Hz)")
    ylabel("GdB")
    grid()
    subplot(212)
    plot(freq,phi)
    xscale('log')
    xlabel("f (Hz)")
    ylabel("phi")
    grid()
bode(H,1,5)
                 

Figure pleine page

2.b. Filtre d'ordre n

Dans certains cas, on recherche un filtre plus sélectif, c'est-à-dire dont la pente dans la bande est atténuée est plus forte. En associant en série des filtres comme le précédent, on peut obtenir un filtre de Butterworth d'ordre n=2p, dont le gain a la forme suivante :

$$G\left(\omega \right)=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{\omega }{{\omega }_c}{)}^{2n}}}\text{(6)}$$

La pente dans la bande atténuée est alors de -20n décibels par décade.

Cela est obtenu en associant en série p filtres du second ordre, avec les coefficients suivants :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & m_i=2sin\left(\frac{\pi }{n}\right(i+\frac{1}{2}\left)\right)\hfill & \hfill \text{(7)}\\ \hfill & K_i=3-m_i\hfill & \hfill \text{(8)}\end{array}$$

avec i=0,1...p-1. Par exemple, pour obtenir un filtre d'ordre 4, on utilise deux filtres d'ordre 2 avec les mêmes valeurs de R et C, le premier avec K=1.152, le second avec K=2.235.

D'autres types de réponses fréquentielles (Bessel et Tchebychev) peuvent être obtenues avec d'autres valeurs de K ([3]).