Antenne demi-onde

1. Définition

Une antenne simple est constituée d'une tige métallique d'axe $Oz$, de longueur $2L$, parcourue par un courant électrique $I(z,t)$. On se place en régime sinusoïdal de pulsation $\omega$. Si l'antenne rayonne dans le vide (ou dans l'air), la longueur d'onde est

$$\lambda =\frac{2\pi c}{\omega }$$

Pour une antenne demi-onde, la longueur est $2L=\lambda /2$. On suppose que le courant est :

$$I(z,t)=I_{0}cos\left(\frac{2\pi z}{\lambda }\right)cos\left(\omega t\right)$$ Figure pleine page

2. Puissance rayonnée

Dans la zone de rayonnement définie par la condition $r\gg \lambda$, le champ électrique de l'onde émise par l'antenne est :

$$\overrightarrow{E}(r,\theta )=\frac{-I_0}{2\pi {\epsilon }_{0}cr}\frac{cos\left(\frac{\pi }{2}cos\theta \right)}{sin\theta }sin\left(\omega (t-r/c)\right){\overrightarrow{u}}_{\theta }$$

La densité surfacique de puissance rayonnée est la moyenne temporelle du vecteur de Poynting :

$$<\Pi >=\frac{I_0^2}{4{\pi }^2{\epsilon }_{0}c}\frac{1}{r^2}\frac{{cos}^2\left(\frac{\pi }{2}cos\theta \right)}{{sin}^2\theta }$$

En intégrant sur une sphère de rayon r, on obtient la puissance rayonnée par l'antenne sous la forme :

$$P_r=\frac{1}{2}R{I}_0^2$$

où $R$ est la résistance de rayonnement donnée par

$$R=\frac{{\mu }_{0}c}{2\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{{cos}^2\left(\frac{\pi }{2}cos\theta \right)}{sin\theta }d\theta$$

mu0=4*Pi*10^-7;
c=3*10^8;
resistance=mu0*c/(2*Pi)*NIntegrate[Cos[Pi/2*Cos[theta]]^2/Sin[theta],{theta,0,Pi}]
            

"73.1296 Ohm"

Pour rayonner une puissance de 10 kW, il faut fournir une intensité :

p=10^4;
intensite=Sqrt[2*p/resistance]
            

"16.5374 A"

3. Diagramme de rayonnement

Le diagramme de rayonnement est la représentation en coordonnées polaires de la densité surfacique de puissance :

ps[theta_]:=Cos[Pi/2*Cos[theta]]^2/Sin[theta]^2;
            

PolarPlot[ps[theta-Pi/2],{theta,0,2*Pi},PlotRange->{{-1,1},{-1,1}}]

figDiagRayonnement.pdf