Module DYNODE : systèmes dynamiques

1. Introduction

Cette page présente les systèmes dynamiques définis dans le module DYNODE. Chaque système est identifié par un nom. Les constantes sont notées $c_{0}, c_{1}, c_{2}, . . .$ . Dans certains cas, des équations algébriques dont les racines sont recherchées pendant l'intégration sont aussi définies.

2. Systèmes différentiels ordinaires

2.a. Pendule

Identifiant : OdePendule

Système différentiel :

\begin{matrix} y'_{0} = y_{1} \\ y'_{1} = - 2 π sin (y_{0}) - c_{0} y_{1} \end{matrix}

Équations algébriques :

\begin{matrix} y_{0} = 0 \\ y_{1} = 0 \end{matrix}

2.b. Boussole chaotique

Identifiant : OdeBoussole

Système différentiel :

\begin{matrix} y'_{0} = y_{1} \\ y'_{1} = - c_{0} sin (y_{0}) - c_{1} sin (y_{0} - 2 π t) - c_{2} y_{1} \end{matrix}

Équations algébriques :

\begin{matrix} y_{0} = 0 \\ y_{1} = 0 \end{matrix}

2.c. Modèle de Lorenz

Identifiant : OdeLorenz

Système différentiel :

\begin{matrix} y'_{0} = c_{0} y_{1} - y_{0} \\ y'_{1} = - y_{0} y_{2} + c_{1} y_{0} - y_{1} \\ y'_{2} = y_{0} y_{1} - c_{2} y_{2} \end{matrix}

Équations algébriques :

\begin{matrix} y_{2} - c_{3} = 0 \end{matrix}

2.d. Toupie pesante à point fixe

Identifiant : OdeToupieA

Système différentiel :

\begin{matrix} y'_{0} = - (1 - c_{0}) y_{1} y_{2} + c_{1} c_{0} (y_{5} y_{6} - y_{3} y_{8}) \\ y'_{1} = (c_{0} - 1) y_{0} y_{2} + c_{1} c_{0} (y_{5} y_{7} - y_{4} y_{8}) \\ y'_{2} = - c_{2} y_{2} \\ y'_{3} = y_{2} y_{4} - y_{1} y_{5} \\ y'_{4} = y_{0} y_{5} - y_{2} y_{3} \\ y'_{5} = y_{1} y_{3} - y_{0} y_{4} \\ y'_{6} = y_{2} y_{7} - y_{1} y_{8} \\ y'_{7} = y_{0} y_{8} - y_{2} y_{6} \\ y'_{8} = y_{1} y_{6} - y_{0} y_{7} \\ y'_{9} = y_{2} y_{10} - y_{1} y_{11} \\ y'_{10} = y_{0} y_{11} - y_{2} y_{9} \\ y'_{11} = y_{1} y_{9} - y_{0} y_{10} \end{matrix}

2.e. Solide libre

Identifiant : OdeSolide

Système différentiel :

\begin{matrix} y'_{0} = ((c_{1} - 1) / c_{0}) y_{1} y_{2} \\ y'_{1} = ((1 - c_{0}) / c_{1}) y_{2} y_{0} \\ y'_{2} = (c_{0} - c_{1}) y_{0} y_{1} \\ y'_{3} = y_{2} y_{4} - y_{1} y_{5} \\ y'_{4} = y_{0} y_{5} - y_{2} y_{3} \\ y'_{5} = y_{1} y_{3} - y_{0} y_{4} \\ y'_{6} = y_{2} y_{7} - y_{1} y_{8} \\ y'_{7} = y_{0} y_{8} - y_{2} y_{6} \\ y'_{8} = y_{1} y_{6} - y_{0} y_{7} \\ y'_{9} = y_{2} y_{10} - y_{1} y_{11} \\ y'_{10} = y_{0} y_{11} - y_{2} y_{9} \\ y'_{11} = y_{1} y_{9} - y_{0} y_{10} \end{matrix}

2.f. Deux corps

Indentifiant : OdeDeuxCorps

Système différentiel :

\begin{matrix} y'_{0} = y_{3} \\ y'_{1} = y_{4} \\ y'_{2} = y_{5} \\ y'_{3} = \frac{c_{1} y_{1}}{{(\sqrt{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}})}^{c_{0} + 1}} \\ y'_{4} = \frac{c_{1} y_{2}}{{(\sqrt{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}})}^{c_{0} + 1}} \\ y'_{5} = \frac{c_{1} y_{3}}{{(\sqrt{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}})}^{c_{0} + 1}} \end{matrix}

2.g. Problème restreint des trois corps

Identifiant : OdeTroisCorpsRestreint

Système différentiel :

\begin{matrix} y'_{0} = y_{3} \\ y'_{1} = y_{4} \\ y'_{2} = y_{5} \\ y'_{3} = y_{0} + 2 y_{4} - (1 - c_{0}) \frac{y_{0} + c_{0}}{(\sqrt{{(y_{0} + c_{0})}^{2} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2}})^{3}} - c_{0} \frac{y_{0} - (1 - c_{0})}{(\sqrt{{(y_{0} - (1 - c_{0}))}^{2} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2}})^{3}} \\ y'_{4} = y_{1} - 2 y_{3} - (1 - c_{0}) \frac{y_{1}}{(\sqrt{{(y_{0} + c_{0})}^{2} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2}})^{3}} - c_{0} \frac{y_{1}}{(\sqrt{{(y_{0} - (1 - c_{0}))}^{2} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2}})^{3}} \\ y'_{5} = - (1 - c_{0}) \frac{y_{2}}{(\sqrt{{(y_{0} + c_{0})}^{2} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2}})^{3}} - c_{0} \frac{y_{2}}{(\sqrt{{(y_{0} - (1 - c_{0}))}^{2} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2}})^{3}} \end{matrix}

Équations algébriques :

\begin{matrix} y_{1} = 0 \end{matrix}

2.h. Chaîne d'oscillateurs couplés

identifiant : OdeNOscillateurs

Nombre d'oscillateurs : $N = c_{0} / 2$

Système différentiel : pour $0 \leq k < N$

\begin{matrix} y'_{k} = y_{k + N} \\ y'_{k + N} = - (2 y_{k} - y_{k - 1} - y_{k + 1}) - c_{1} {(y_{k} - y_{k - 1})}^{c_{2}} + c_{1} {(y_{k + 1} - y_{k})}^{c_{2}} \end{matrix}

avec $y_{- 1} = 0$ et $y_{N} = 0$ .

3. Systèmes Hamiltoniens

Ces systèmes dynamiques ont un hamiltonien séparable, de la forme suivante :

H (q, p, t) = K (p, t) + V (q, t)

où K est l'énergie cinétique et V l'énergie potentielle.

Dans le cas où un champ magnétique ou une force de Coriolis est présente, le vecteur vitesse angulaire est donné. La force correspondante est :

\vec{f} = \vec{Ω} \land \vec{p}

3.a. Pendule

Identifiant : HamPendule

\begin{matrix} K = \frac{1}{2} p_{0}^{2} \\ V = - {(2 π)}^{2} cos (q_{0}) \end{matrix}

3.b. Boussole chaotique

Identifiant : HamBoussole

\begin{matrix} K = \frac{1}{2} p_{0}^{2} \\ V = - c_{0} cos (q_{0}) - c_{1} cos (q_{0} - 2 π t) \end{matrix}

3.c. Particule dans un champ magnétique et un électrique coulombien

Le champ magnétique est uniforme.

Identifiant : HamBunifEcoulomb

Champ magnétique :

Ω = {(0, 0, c_{1})}^{T}

Hamiltonien :

\begin{matrix} K = \frac{1}{2} (p_{0}^{2} + p_{1}^{2} + p_{2}^{2}) \\ V = - \frac{c_{0}}{\sqrt{q_{0}^{2} + q_{1}^{2} + q_{2}^{2}}} \end{matrix}

3.d. Particule chargée dans un champ magnétique dipolaire

Identifiant : HamDipole

Champ magnétique :

\begin{matrix} r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ Ω_{x} = \frac{3 c_{0} x z}{r^{5}} \\ Ω_{y} = \frac{3 c_{0} y z}{r^{5}} \\ Ω_{z} = \frac{3 c_{0} z^{2}}{r^{5}} - \frac{1}{r^{3}} \end{matrix}

Hamiltonien :

\begin{matrix} K = \frac{1}{2} (p_{0}^{2} + p_{1}^{2} + p_{2}^{2}) \\ V = 0 \end{matrix}

3.e. Problème restreint des trois corps

Identifiant : HamTroisCorpsRestreint

Force de Coriolis :

Ω = {(0, 0, - 2)}^{T}

Hamiltonien :

\begin{matrix} K = \frac{1}{2} (p_{0}^{2} + p_{1}^{2} + p_{2}^{2}) \\ V = - \frac{1}{2} (q_{0}^{2} + q_{1}^{2}) - \frac{1 - c_{0}}{\sqrt{{(q_{0} + c_{0})}^{2} + q_{1}^{2} + q_{2}^{2}}} - \frac{c_{0}}{\sqrt{{(q_{0} - (1 - c_{0}))}^{2} + q_{1}^{2} + q_{2}^{2}}} \end{matrix}

3.f. Chaîne d'oscillateurs couplés

Chaîne d'oscillateurs couplés avec déplacement nul sur les bords.

Identifiant : HamNOscillateurs

Nombre d'oscillateurs : N=c₀.

Hamiltonien :

\begin{matrix} K = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{N - 1} p_{k}^{2} \\ V = \sum_{k = 0}^{N - 1} \frac{1}{2} {(q_{k} - q_{k - 1})}^{2} + \frac{c_{1}}{c_{2} + 1} {(q_{k} - q_{k - 1})}^{c_{2} + 1} \end{matrix}

avec : $q_{- 1} = 0$ et $q_{N} = 0$

3.g. Chaîne d'oscillateurs couplés périodique

Chaîne d'oscillateurs couplés avec condition limite périodique.

Identifiant : HamNOscillateursPeriod

Nombre d'oscillateurs : N=c₀.

Hamiltonien :

\begin{matrix} K = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{N - 1} p_{k}^{2} \\ V = \sum_{k = 0}^{N - 1} \frac{1}{2} {(q_{k} - q_{k - 1})}^{2} + \frac{c_{1}}{c_{2} + 1} {(q_{k} - q_{k - 1})}^{c_{2} + 1} \end{matrix}

avec : $q_{- 1} = q_{N - 1}$ et $q_{N} = q_{0}$